Bài 5.19 trang 123 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} +  \ldots  + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng

A. 1                                        

B. 2                                         

C. -1                                       

D. 0

Lời giải chi tiết

Ta có: \(2 + {2^2} + ... + {2^n}\) là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là \({u_1} = 2,q = 2\)

Do đó, \(2 + {2^2} + ... + {2^n} = \frac{{2.(1 - {2^n})}}{{1 - 2}} =  - 2(1 - {2^n})\)

Khi đó, \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{{2^n}}} = \frac{{ - 2(1 - {2^n})}}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 2\)

Đáp án: B.