Bài 5 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Từ khai triển biểu thức $(3x – 4)^{17}$ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải chi tiết

Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có: 

$\begin{array}{l} {\left( {3x - 4} \right)^{17}} \\ = C_{17}^0{\left( {3x} \right)^{17}} + C_{17}^1{\left( {3x} \right)^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}} \end{array}$

Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển $(3x – 4)^{17}$ là:

$C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}$

Cho $x=1$ ta có:

${\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}$

hay $(-1)^{17}=C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}$

Do đó:

$C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}=-1$

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng $-1$.

Loigiaihay.com