Bài 5 trang 58 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Từ khai triển biểu thức \((3x – 4)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải chi tiết

Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {3x - 4} \right)^{17}} \\
= C_{17}^0{\left( {3x} \right)^{17}} + C_{17}^1{\left( {3x} \right)^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}
\end{array}\)

Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển \((3x – 4)^{17}\) là:

\(C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

Cho \(x=1\) ta có:

\({\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

hay \((-1)^{17}=C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

Do đó:

\(C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}=-1\)

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng \(-1\).

Loigiaihay.com