Giải bài 5 trang 140 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho $z = a + bi$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $z$ và $\overline{z}$ làm nghiệm

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Một phương trình bậc hai nhận $z$ và $\overline{z}$ làm nghiệm là

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x.z + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0 \end{array}$

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0$

Cách 2:

Ta có:

$\begin{array}{l} z + \overline z = a + bi + a - bi = 2a\\ z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2} \end{array}$

$\Rightarrow z,\overline{z}$ là nghiệm của phương trình ${x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0$.

Loigiaihay.com