Giải bài 4 trang 140 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho $a, b, c \in \mathbb R$, $a \ne 0$, $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và ${z_1} {z_2}$ theo các hệ số $a, b, c$. 

Lời giải chi tiết

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

+) Trường hợp $∆ ≥ 0$, theo định lí vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

+) Trường hợp $∆ < 0$,  gọi $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta$, khi đó các nghiệm của phương trình là: 

$\begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{z_2} = \dfrac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}\\= \dfrac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \dfrac{c}{a}\end{array}$

Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp $∆ < 0$.

Loigiaihay.com