Bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12Tính: Quảng cáo
Video hướng dẫn giải Tính: a) \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\) b) \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\) c) \(\displaystyle\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\) d) \(\displaystyle\int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\)
LG a a) \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\) Phương pháp giải: +) Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân. +) Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận. Lời giải chi tiết: Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \) , ta được: \(x = t^2- 1, dx = 2t dt\) Khi \(x = 0\) thì \(t = 1\), khi \(x = 3\) thì \(t = 2.\) Do đó: \(\displaystyle \int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx = \int_1^2 {{{{t^2} - 1} \over t}} .2tdt = 2\int_1^2 {({t^2} - 1)dt}\) \(\displaystyle= 2({{{t^3}} \over 3} - t)\left| {_1^2} \right. = 2({8 \over 3} - 2 - {1 \over 3} + 1) = {8 \over 3} \) LG b b) \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx = \int_1^{64} {{{1 + {x^{{1 \over 2}}}} \over {{x^{{1 \over 3}}}}}} dx = \int_1^{64} {({x^{{-1 \over 3}}} + {x^{{1 \over 6}}})dx}\) LG c c) \(\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\) Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân. Lời giải chi tiết: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {{x^2}{e^{3x}}dx} \\ = \left. {\left( {{x^2}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{2x{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \end{array}\) Xét \({I_1} = \int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^2\\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \dfrac{1}{9}\left( {{e^6} - 1} \right)\\ = \dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}\\ \Rightarrow I = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}{I_1}\\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}} \right)\\ = \dfrac{{26}}{{27}}{e^6} - \dfrac{2}{{27}}\end{array}\) Cách trình bày khác: Ta có: \(\displaystyle \int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx = {1 \over 3}\int_0^2 {{x^2}} d{e^{3x}} \) \(\displaystyle = {1 \over 3}{x^2}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. - {2 \over 3}\int_0^2 {x{e^{3x}}} dx \) \(=\dfrac{1}{3}\left. {{x^2}{e^{3x}}} \right|_0^2 - \dfrac{2}{9}\int\limits_0^2 {xd\left( {{e^{3x}}} \right)} \) \(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {2 \over 9}(x{e^{3x}})\left| {_0^2} \right. + {2 \over {27}}\int_0^2 {{e^{3x}}} d(3x) \) \(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {4 \over 9}{e^6} + {2 \over {27}}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. = {2 \over {27}}(13{e^6} - 1) \) LG d d) \(\int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\) Phương pháp giải: Biến đổi thu gọn hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân thu được. Lời giải chi tiết: Ta có: \( \sqrt {1 + \sin 2x} \) \(= \sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }\) \( = \sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} \) \(= |{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} | \) \(\displaystyle = \sqrt 2 |\sin (x + {\pi \over 4})| \) \(=\left\{ \matrix{ Do đó: \( \displaystyle \int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx \) \( = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \) \(= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \) \(= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} \) \(- \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} \) \(\displaystyle = \sqrt 2 \int_0^{{{3\pi } \over 4}} {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4})\) \(\displaystyle - \sqrt 2 \int_{{{3\pi } \over 4}}^\pi {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4}) \) \(\displaystyle = - \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_0^{{{3\pi } \over 4}}} \right. + \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_{{{3\pi } \over 4}}^\pi } \right.\) \(= \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)\) \( = 2\sqrt 2 \) Loigiaihay.com  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
