Bài 5 trang 108 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI, cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng :

a) Tam giác DIL là một tam giác cân.

b) Tổng \(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác DAI và tam giác DCL có:

DA = DC (ABCD là hình vuông); \(\widehat {ADI} = \widehat {CDL}\) (cùng phụ với \(\widehat {CDI}\)); \(\widehat {DAI} = \widehat {DCL} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta DAI = \Delta DCL\) (g.c.g) \( \Rightarrow DI = DL\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \) Tam giác DIL là tam giác cân tại D

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác DLK vuông tại D, đường cao DC ta có:

\(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{L^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\) không đổi.

Loigiaihay.com