Bài 48 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Tìm các giá trị của $m$ sao cho hàm số có ba cực trị.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R$

$y = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  {x^2} = m \hfill \cr} \right.$

Nếu $m> 0$ thì $y’=0$ $\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x =  - \sqrt m$ hoặc $x = \sqrt m$

Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu $m \le 0$ thì ${x^2} - m \ge 0$ với mọi $x \in\mathbb R$

Hàm số có $1$ cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m>0$.

Chú ý:

Có thể trình bày ngắn gọn như sau:

Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0$

Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

LG b

Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với $m = {1 \over 2}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

Lời giải chi tiết:

Với $m = {1 \over 2}$ ta có $y = {x^4} - {x^2} + 1$
TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr  & y' = 4{x^3} - 2x = 2x\left( {2{x^2} - 1} \right)\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x = \pm \sqrt {{1 \over 2}}  \hfill \cr} \right. \cr}$

$y\left( 0 \right) = 1$ và $y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)$ và $\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ và $\left( {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CD}} = 1$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và ${y_{CT}} =   \frac{3}{4}$

$y'' = 12{x^2} - 2$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm {{\sqrt 6 } \over 6};\,\,y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 6}} \right) = {{31} \over {36}}$

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn: ${I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$ và ${I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$
Điểm đặc biệt: $x =  \pm 1 \Rightarrow y = 1$

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Ta có: $y'\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = 4.{\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - 2.\left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)$ $= \frac{4}{{3\sqrt 6 }}$

Do đó phương trình tiếp tuyến tại ${I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$ là $y - {{31} \over {36}} = y'\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x + {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)$

$\Leftrightarrow y = {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}$

Lại có $y'\left( { \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = 4.{\left( {  \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - 2.\left( {  \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)$ $= -\frac{4}{{3\sqrt 6 }}$

Do đó phương trình tiếp tuyến tại ${I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)$ là: $y - {{31} \over {36}} = y'\left( {  {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)$ $\Leftrightarrow y =  - {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}$

Loigiaihay.com