Bài 43 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \cr  & y' = - 4{x^3} + 4x = - 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0,\,\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = - 2 \hfill \cr  x = \pm 1,\,\,\,\,y\left( { \pm 1} \right) = - 1 \hfill \cr} \right. \cr}$

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$;
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = -1 ; x = 1$;
Giá trị cực đại $y\left( { \pm 1} \right) =  - 1$. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$, giá trị cực tiểu $y(0) = -2$.

$\eqalign{ & y'' = - 12{x^2} + 4 = - 4\left( {3{x^2} - 1} \right) \cr  & y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 3 }}\cr&y\left( { \pm {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {{ - 13} \over 9} \cr}$

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn ${I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)$ và ${I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)$
Điểm đặc biệt $x = 2 \Rightarrow y =  - 10$
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

LG b

Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình $- {x^4} + 2{x^2} - 2 = m$.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số $y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2$ với đường thẳng $y = m$.

Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu $m < -2$ thì phương trình có $2$ nghiệm;
- Nếu $m = -2$ thì phương trình có $3$ nghiệm;
- Nếu $-2 < m < -1$ thì phương trình có $4$ nghiệm;
- Nếu $m = -1$ thì phương trình có $2$ nghiệm;
- Nếu $m> -1$ thì phương trình vô nghiệm.

Vậy,

m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

$m =  - 1$ hoặc $m <  - 2$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm.

m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

LG c

Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị có hai điểm uốn ${I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)$ và ${I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)$

Ta có: $y'\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - 4.{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$ $=  - \frac{8}{{3\sqrt 3 }}$
phương trình tiếp tuyến của đồ thị ${I_1}$ là:

$\eqalign{ & y + {{13} \over 9} = y'\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr  & \Leftrightarrow y = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr}$

Lại có: $y'\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - 4.{\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( {  \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$ $=   \frac{8}{{3\sqrt 3 }}$

Tương tự tiếp tuyến của đồ thị ${I_2}$ là :

$\eqalign{ & y + {{13} \over 9} = y'\left( {  {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{  8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr  & \Leftrightarrow y = {{  8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr}$

Vậy 2 tiếp tuyến là $y = {-8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}$ và $y = {8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}$

Loigiaihay.com