Bài 46 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

$\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr  {x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.$

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \Delta ' > 0 \hfill \cr  f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {m^2}-m - 2 > 0 \hfill \cr  {\left( { - 1} \right)^2} + 2m.\left( { - 1} \right) + m + 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \cr}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m < - 1 \end{array} \right.\\ - m + 3 \ne 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m < - 1 \end{array} \right.\\ m \ne 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ 2 < m < 3\\ m > 3 \end{array} \right.$

Vậy $m < -1$ hoặc $2 < m < 3$ hoặc $m > 3$.

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với $m = -1$

Lời giải chi tiết:

Với $m =-1$ ta có $y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)$ $= {x^3} - {x^2} - x + 1$

TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr  & y' = 3{x^2} - 2x - 1\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr  x = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\cr&y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( { - {1 \over 3}} \right) = {{32} \over {27}} \cr}$

Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \frac{1}{3};1} \right)$

Hàm số đạt cực đại tại $x =  - \frac{1}{3}$ và ${y_{CD}} = y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{32}}{{27}}$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x =  1$ và ${y_{CT}} = y\left( { 1} \right) = 0$

$y'' = 6x - 2$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3};\,y\left( {{1 \over 3}} \right) = {{16} \over {27}}$

Xét dấu $y”$

Điểm uốn $I\left( {{1 \over 3};{{16} \over {27}}} \right)$

Điểm đồ thị đi qua:

$x = 0 \Rightarrow y = 1$

$x = 2 \Rightarrow y = 3$

$x = -1 \Rightarrow y = 0$

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn $I$ làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com