Bài 45 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr  & y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr  x = 2;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 3 \hfill \cr} \right. \cr}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$; nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 0$, giá trị cực đại $y(0) = 1$; hàm số đat cực tiểu tại điểm $x = 2$, giá trị cực tiểu $y(2) = -3$.

$y'' = 6x - 6$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - 1$

Xét dấu $y”$

Điểm uốn của đồ thị $I(1;-1)$    

Điểm đặc biệt $x =  - 1 \Rightarrow y =  - 3$

Đồ thị: đồ thị nhận điểm $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng.

LG b

Tùy theo các giá trị của $m$, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: ${x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0$ $\Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 1 =  - m - 1$

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$ và đường thẳng $y = - m -1$ (song song hoặc trùng với trục Ox và đi qua điểm (0;-m-1)).

Dựa vào đồ thị ta có:

- Nếu $- m - 1<-3\Rightarrow m>2$ thì phương trình có $1$ nghiệm.

- Nếu $-m-1=-3\Rightarrow m=2$ thì phương trình có $2$ nghiệm.

- Nếu $-3< -m-1<1$ $\Rightarrow -2<m<2$ thì phương trình có $3$ nghiệm.

- Nếu $-m-1=1\Rightarrow m=-2$ thì phương trình có $2$ nghiệm

- Nếu $-m-1>1\Rightarrow m<-2$ thì phương trình có $1$ nghiệm.

Kết luận,

+) $m <  - 2$ hoặc $m > 2$ thì phương trình có 1 nghiệm.

+) $m = 2$ hoặc $m =  - 2$ thì phương trình có 2 nghiệm

+) -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.

Loigiaihay.com