Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’ 

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Lời giải chi tiết

a) $MA, MB$ là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt). 

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $MA = MB$, MO là tia phân giác $\widehat {AMB}$

Ta có: $∆MAB$ cân tại $M (do\,MA = MB)$ nên MO là đường phân giác đồng thời là đường cao

$\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}$

Lại có $MA, MC$ là các tiếp tuyến của đường tròn (O') (gt). 

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $MA = MC$, MO’ là tia phân giác góc $\widehat {AMC}$ 

Ta có: $∆MAC$ cân tại $M (do\,MA = MC)$ nên MO' là đường phân giác đồng thời là đường cao

$\Rightarrow MO' \bot AC \Rightarrow \widehat {MFA} = 90^0$

Vì $MO, MO’$ là tia phân giác của hai góc kề bù $\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}$ (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

Vì $\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}$ nên tứ giác AEMF là hình chữ nhật ( Tứ giác có 3 góc vuông)

b) $∆MAO$ vuông tại A có AE là đường cao nên $ME. MO = MA^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$∆MAO'$ vuông tại A có AF là đường cao nên $MF. MO’ = MA^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Do đó, $ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)$

c) Theo câu a) ta có $MA=MB$ và $MA=MC$

⇒ $MA = MB = MC=\dfrac{BC}2$ nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà $OO’ ⊥ MA$ tại A.

Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d)

  

 

Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đường kính là OO’

Tam giác OMO' vuông tại M (do theo câu a có $\widehat {EMF}=90^0$ hay $\widehat {OMO'}=90^0$ ) có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OO' nên $KM=\dfrac{1}2OO'$ (tính chất)

Như vậy, đường tròn tâm K đường kính OO' có bán kính KM.

Ta có $OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC$ (do BC là tiếp tuyến) $⇒ OB // O'C.$

⇒ Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.

Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ $⇒ KM // OB$

Mà $OB ⊥ BC$ nên $KM ⊥ BC$

Ta có $BC ⊥ KM$ tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.