Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr  & y' = - 3{x^2} + 6x = - 3x\left( {x - 2} \right);\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;\,y\left( 0 \right) = - 1 \hfill \cr  x = 2;\,y\left( 2 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr}$

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên khoảng $(0;2)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$, giá trị cực tiểu $y(0) = -1$. Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$, giá trị cực đại $y(2) = 3$.

Đồ thị: $y'' =  - 6x + 6$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = 1$

Xét dấu y”:

$I(1;1)$ là điểm uốn của đồ thị

Điểm đặc biệt:

$x = 0 \Rightarrow y =  - 1$

$x =  - 1 \Rightarrow y = 3$

LG b

Tùy theo các giá trị của $m$, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: $- {x^3} + 3{x^2} - 1 = m$

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị $(C)$ hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$ với đường thẳng $y = m$ cùng phương với trục $Ox$.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm

- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Vậy,

- Nếu $m < -1$ hoặc $m > 3$ thì phương trình có $1$ nghiệm;

- Nếu $m = -1$ hoặc $m = 3$ thì phương trình có $2$ nghiệm;

- Nếu $-1 < m < 3$ thì phương trình có $3$ nghiệm.

Loigiaihay.com