Bài 4 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng $(P)$.

Lời giải chi tiết:

Kẻ đường cao $AI$ của tam giác $ABC$ thì $AI \bot \left( {BCC'B'} \right)$

$\Rightarrow AI = d\left( {{A_1};\left( {BCC'B'} \right)} \right)$. Ta có:

$\eqalign{ & {V_{_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}}} = {V_{{A_1}.ABC}} + {V_{{A_1}BC{C_1}{B_1}}} \cr  & = \frac{1}{3}A{A_1}.{S_{ABC}} + \frac{1}{3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}.d\left( {{A_1},\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)} \right)\cr &= {1 \over 3}{\rm{aS + }}{1 \over 3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}.AI \cr  & = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}.{1 \over 2}\left( {b + c} \right).BC.AI \cr  & = {1 \over 3}aS + {1 \over 3}\left( {b + c} \right)S \cr &= {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S \cr  & {V_{{A_1}{B_1}{C_1}A'B'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} \cr  & = Sh - {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S \cr &= \frac{1}{3}S\left( {3h - a - b - c} \right) \cr}$

Cách khác:

Không làm mất tính tổng quát, giả sử a≤b≤c.

Trên cạnh BB’ lấy B₂ sao cho BB₂=a

B₁B₂=b-a

Trên cạnh CC’ lấy C₂ sao cho CC₂=a

C₁C₂=c-a

Ta có: ${V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}}$ $= {V_{ABC.{A_1}{B_2}{C_2}}} + {V_{{A_1}{B_2}{C_2}{B_1}}} + {V_{{A_1}{B_1}{C_2}{C_1}}}$

Trong đó:

$\begin{array}{l}{V_{ABC.{A_1}{B_2}{C_2}}} = A{A_1}.{S_{ABC}} = aS\left( 1 \right)\\{V_{{A_1}{B_2}{C_2}{B_1}}} = \frac{1}{3}{B_1}{B_2}.{S_{{A_1}{B_2}{C_2}}}\\ = \frac{1}{3}\left( {b - a} \right)S\left( 2 \right)\end{array}$

(vì B₁ B₂⊥(A₁ B₂ C₂ ); ∆A₁ B₂ C₂=∆ABC)

Thay (1), (2) và (3) vào (*) ta được:

LG b

Với điều kiện nào của $a, b, c$ thì thể tích hai phần đó bằng nhau ?

Lời giải chi tiết:

${V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = {V_{{A_1}{B_1}{C_1}.A'B'C'}}$ $\Leftrightarrow {1 \over 3}\left( {a + b + c} \right)S = \frac{1}{3}S\left( {3h - a - b - c} \right)$ $\Leftrightarrow a + b + c = 3h - a - b - c$ $\Leftrightarrow 3h = 2\left( {a + b + c} \right)$

Loigiaihay.com