Giải bài 4 trang 10 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;\ 2 \right).\)

Lời giải chi tiết

ĐK: \(2x-{{x}^{2}}\ge 0\) \(\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\le 0\) \(\Leftrightarrow 0\le x\le 2.\)

Tập xác định: \(D=\left[ 0;\ 2 \right].\)

Có \(y'=\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}\) \(=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}},\forall \ x\in \left( 0;\ 2 \right)\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1.\)

+) \(y' > 0 \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right)\).

+) \(y' < 0 \Leftrightarrow 1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;\ 2 \right).\)

Loigiaihay.com