Các dạng toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm sốMột số dạng bài thường gặp Quảng cáo
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. Phương pháp: - Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số. - Bước 2: Tính đạo hàm f′(x)f′(x), tìm các điểm x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn mà tại đó đạo hàm bằng 00 hoặc không xác định. - Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. + Các khoảng mà f′(x)>0f′(x)>0 là các khoảng đồng biến của hàm số. + Các khoảng mà f′(x)<0f′(x)<0 là các khoảng nghịch biến của hàm số. Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=2x4+1y=2x4+1. Ta có y′=8x3,y′>0⇔x>0y′=8x3,y′>0⇔x>0 nên hàm số đã cho đồng biến trên (0;+∞)(0;+∞) y′<0⇔x<0y′<0⇔x<0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞;0)(−∞;0) Một số trường hợp đặc biệt:
 Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R. Phương pháp: - Bước 1: Tính f′(x)f′(x). - Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán: + Hàm số y=f(x)y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,∀x∈RR⇔y′=f′(x)⩾0,∀x∈R và y′=0y′=0 tại hữu hạn điểm. + Hàm số y=f(x)y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈RR⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈R và y′=0y′=0 tại hữu hạn điểm. - Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm mm. Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm sao cho hàm số y=13x3−(m+1)x2−(2m+3)x+2017y=13x3−(m+1)x2−(2m+3)x+2017 đồng biến trên RR. Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên RR ⇔y′=x2−2(m+1)x−(2m+3)≥0⇔y′=x2−2(m+1)x−(2m+3)≥0 ∀x∈R.∀x∈R. ⇔Δ′=(m+1)2+(2m+3)≤0⇔Δ′=(m+1)2+(2m+3)≤0 ⇔m2+4m+4≤0⇔m=−2⇔m2+4m+4≤0⇔m=−2  Cho hàm số f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=ax2+bx+c(a≠0). Khi đó: f(x)⩾0,∀x∈R⇔{a>0Δ⩽0f(x)⩽0,∀x∈R⇔{a<0Δ⩽0f(x)⩾0,∀x∈R⇔{a>0Δ⩽0f(x)⩽0,∀x∈R⇔{a<0Δ⩽0 Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước. Phương pháp: - Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D: + Hàm số y=f(x)y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0,∀x∈DD⇔y′=f′(x)⩾0,∀x∈D. + Hàm số y=f(x)y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈DD⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈D. - Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm mm. Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng: - Rút mm theo xx sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: m⩾g(x),∀x∈Dm⩾g(x),∀x∈D hoặc m⩽g(x),∀x∈Dm⩽g(x),∀x∈D. - Khảo sát tính đơn điệu của hàm số y=g(x)y=g(x) trên DD. - Kết luận: m⩾g(x),∀x∈D⇒m⩾maxDg(x)m⩽g(x),∀x∈D⇒m⩽minDg(x)m⩾g(x),∀x∈D⇒m⩾maxDg(x)m⩽g(x),∀x∈D⇒m⩽minDg(x) - Bước 3: Kết luận. Dạng 4: Tìm m để hàm số y=ax+bcx+dy=ax+bcx+d đồng biến, nghịch biến trên khoảng (α;β)(α;β) - Bước 1: Tính y′y′. - Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến: + Hàm số đồng biến trên (α;β)⇔{y′=f′(x)>0,∀x∈(α;β)−dc∉(α;β)(α;β)⇔⎧⎨⎩y′=f′(x)>0,∀x∈(α;β)−dc∉(α;β) + Hàm số nghịch biến trên (α;β)⇔{y′=f′(x)<0,∀x∈(α;β)−dc∉(α;β)(α;β)⇔⎧⎨⎩y′=f′(x)<0,∀x∈(α;β)−dc∉(α;β) - Bước 3: Kết luận.  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
|
Tải app
