Giải bài 3 trang 10 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $y=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;\ 1 \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right).$

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $D=R.$

Có: $y'=\dfrac{(x)'.(x^2+1)-x.(x^2+1)'}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1-{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)^2}$

$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..$

Ta có: $y' > 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} > 0$ $\Leftrightarrow  - 1 < x < 1$

 $\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;\ 1 \right).$

$y' < 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} < 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\ -1 \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right).$

Loigiaihay.com