Bài 34 trang 96 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn O. Tia AO cắt BC và đường tròn O tại D và E. Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn O. Tia AO cắt BC và đường tròn O tại D và E. a) Chứng minh \(AD \bot BC\) và EB = EC. b) Trên cung nhỏ AC lấy điểm N sao cho AN < NC. Tia AN cắt tia BC tại M, tia NE cắt BC tại I. Chứng minh IB.IC = IE.IN và IB.MC = IC.MB. c) Chứng minh \(\widehat {AMB} = \widehat {ACN}\) . d) Tiếp tuyến tại N của đường tròn O cắt BM tại K. Chứng minh K là trung điểm của IM. Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Chứng minh \(\Delta AOB = \Delta AOC\), chứng minh \(AO\) là phân giác của \(\widehat {BAC}\). Chúng minh \(\Delta ABE = \Delta ACE\). b) +) Chứng minh . +) Chứng minh NE và NM lần lượt là phân giác trong và ngoài của \(\widehat {BNC}\), sử dụng tính chất đường phân giác. c) Chứng minh \(\widehat {AMB};\,\,\widehat {ACN}\) cùng bằng \(\widehat {AEN}\). d) Chứng minh tam giác KIN và KMN cân tại K. Lời giải chi tiết
a) Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta AOC\) có: \(\begin{array}{l}AB = AC\,\,\left( {gt} \right);\\OA\,\,chung;\\OB = OC = R;\end{array}\) \( \Rightarrow \Delta AOB = \Delta AOC\,\,\left( {c.c.c} \right) \) \(\Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OAC} \Rightarrow AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\). Mà tam giác ABC cân tại A \( \Rightarrow \) Phân giác AO đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AO \bot BC\). Mà \(D \in AO \Rightarrow AD \bot BC\). Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACE\) có : \(\begin{array}{l}AB = AC\,\,\left( {gt} \right);\\AE\,\,chung\\\widehat {BAE} = \widehat {CAE}\,\,\left( {cmt} \right);\end{array}\) \( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACE\,\,\left( {c.g.c} \right) \) \(\Rightarrow BE = CE\) (2 cạnh tương ứng). b) +) Xét \(\Delta IBE\) và \(\Delta ICN\) có : \(\widehat {BIE} = \widehat {NIC}\) (đối đỉnh) ; \(\widehat {IBE} = \widehat {INC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IN) ; \( \Rightarrow \Delta IBE \sim \Delta INC\,\,\left( {g.g} \right) \) \(\Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IN}} = \dfrac{{IE}}{{IC}} \Rightarrow IB.IC = IE.IN\). +) Ta có \(EB = EC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow cung\,EB = cung\,EC\) (hai dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau) \( \Rightarrow \widehat {BNE} = \widehat {CNE}\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau) \( \Rightarrow NE\) là tia phân giác trong của \(\widehat {BNC}\). Ta có: \(\widehat {ANE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AN \bot NE\) hay \(NM \bot NE\). Mà NE là tia phân giác trong của \(\widehat {BNC}\) (cmt) \( \Rightarrow NM\) là tia phân giác ngoài của \(\widehat {BNC}\). Áp dụng tính chất tia phân giác ta có: \(\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{IB}}{{IC}};\,\,\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}\) \(\Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} \) \(\Rightarrow IB.MC = IC.MB.\) c) Xét \(\Delta ANE\) và \(\Delta ADM\) có: \(\begin{array}{l}\widehat {ANE} = \widehat {ADM} = {90^0};\\\widehat {EMA}\,\,chung;\end{array}\) \( \Rightarrow \Delta ANE \sim \Delta ADM\,\,\left( {g.g} \right) \)\(\,\Rightarrow \widehat {AEN} = \widehat {AMD}\) (hai góc tương ứng). Mà \(\widehat {AEN} = \widehat {ACN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) \( \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {AMD}\) (đpcm). d) Xét \(\Delta EBI\) và \(\Delta ENB\) có: \(\widehat {BEN}\,\,chung;\) \(\widehat {EBI} = \widehat {ENB}\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau) \( \Rightarrow \Delta EBI \sim \Delta ENB\,\,\left( {g.g} \right) \) \(\Rightarrow \widehat {EIB} = \widehat {EBN}\). Mà \(\widehat {EBN} = \widehat {ENK}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EN). \(\widehat {EIB} = \widehat {NIK}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {NIK} = \widehat {ENK} \Rightarrow \Delta KIN\) cân tại K \( \Rightarrow KN = KI\) (1). Xét tam giác vuông MNI có: \(\widehat {NIK} + \widehat {KMN} = {90^0}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau) \(\widehat {ENK} + \widehat {KNM} = \widehat {INM} = {90^0}\) Mà \(\widehat {NIK} = \widehat {ENK}\,\,\left( {cmt} \right) \) \(\Rightarrow \widehat {KMN} = \widehat {KNM} \Rightarrow \Delta KMN\) cân tại K \( \Rightarrow KM = KN\) (2) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow KM = KI\). Vậy K là trung điểm của IM. Loigiaihay.com
Quảng cáo
|