Bài 33 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Cho đường cong $(C)$ có phương trình $y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}$, trong đó $a \ne 0$, $c \ne 0$ và điểm $I\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ thỏa mãn: ${y_o} = a{x_o} + b$ . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI}$ và phương trình của $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$. Từ đó suy ra rằng $I$ là tâm đối xứng của đường cong ($C)$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}$ $\Leftrightarrow y = ax - a{x_0} + a{x_0} + b + \frac{c}{{x - {x_0}}}$ $\Leftrightarrow y = a\left( {x - {x_o}} \right) + {y_o} + {c \over {x - {x_o}}}$
$\Leftrightarrow y - {y_o} = a\left( {x - {x_o}} \right) + {c \over {x - {x_o}}}$

Đặt

$\left\{ \matrix{ x - {x_o} = X \hfill \cr  y - {y_o} = Y \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = X + {x_o} \hfill \cr  y = Y + {y_o} \hfill \cr} \right.$

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI}$ với $I\left( {{x_o};{y_o}} \right)$.

Khi đó $Y = aX + {c \over X}$ là phương trình của $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$. 

$Y = aX + {c \over X}$ là hàm số lẻ nên đồ thị $(C)$ nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận $I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)$ làm tâm đối xứng.

Cách trình bày khác:

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI với I(x_o,y_o) là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + a{x_0} + b\end{array} \right.$

Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là:

$Y + a{x_0} + b$$= a\left( {X + {x_0}} \right) + b + \frac{c}{{X + {x_0} - {x_0}}}$

$\Leftrightarrow Y + a{x_0} + b$ $= aX + a{x_0} + b + \frac{c}{X}$

$\Leftrightarrow Y = aX + \frac{c}{X}$

Do hàm số $Y = aX + \frac{c}{X}$ là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ tâm I làm tâm đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận $I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)$ làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com