Bài 30 trang 27 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Xác định điểm $I$ thuộc đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm $I$ là nghiệm của phương trình $f''\left( x \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;f''\left( x \right) = 6x - 6$
$f''\left( x \right) = 0  \Leftrightarrow 6x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x = 1;f\left( 1 \right) =  - 1$
Vậy $I\left( {1; - 1} \right)$

LG b

Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ $\overrightarrow {OI}$ và viết phương trình của đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$. Từ đó suy ra rằng $I$ là tâm đối xứng của đường cong $(C)$.

Lời giải chi tiết:

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo $\overrightarrow {OI}$ là

$\left\{ \matrix{ x = X + 1 \hfill \cr  y = Y - 1 \hfill \cr} \right.$

Phương trình đường cong $(C)$ đối với hệ tọa độ $IXY$ là

$\eqalign{ & Y - 1 = {\left( {X + 1} \right)^3} - 3{\left( {X + 1} \right)^2} + 1 \cr  &= {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 \cr& = {X^3} - 3X - 1\cr&\Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X \cr}$

Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị $(C)$ của nó nhận gốc tọa độ $I$ làm tâm đối xứng.

LG c

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $I$ đối với hệ tọa độ $Oxy$. Chứng minh rằng trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ đường cong $(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến tại $I$ của $(C)$ và trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ đường cong $(C)$ nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Phương pháp giải:

Trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, đường cong $(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến $y = ax + b$ nếu $f\left( x \right) < ax + b$ với mọi $x<1$.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C)$ tại điểm $I(1;-1)$ đối với hệ trục tọa độ $Oxy$ là:

y - f(1) = f' (1)(x-1) với f’(1) = -3; f(1) = -1

hay $y + 1 =  - 3\left( {x - 1} \right)$ $\Leftrightarrow y =  - 3x + 2$

Đặt $g\left( x \right) =  - 3x + 2$
$f\left( x \right) - g\left( x \right)$$= {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right)$ $= {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}$

Vì $f\left( x \right) - g\left( x \right)<0$ với $x<1$ và $f\left( x \right) - g\left( x \right)>0$ với $x>1$

Do đó trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, $(C)$ nằm phía dưới tiếp tuyến tại $I$ của $(C)$ và trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$, $(C)$ nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Loigiaihay.com