Giải bài 3 trang 39 SGK Hình học lớp 12

LG a

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi rl$ trong đó $r$ là bán kính đáy và $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $SB= l$ là độ dài đường sinh, $SO = h$ là chiều cao hình nón.

Trong tam giác vuông $SOB$ ta có:

$\eqalign{ & S{B^2} = S{O^2} + O{B^2} \cr&= {h^2} + {r^2} = {20^2} + {25^2} = 1025 \cr  & \Rightarrow SB = \sqrt {1025} \cr}$ 

Diện tích xung quanh hình nón là:

${S_{xq}} = \pi rl$$= \pi .25\sqrt {1025}  \approx 2514,5\left( {c{m^2}} \right)$

LG b

b) Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó.

Phương pháp giải:

Thể tích của khối nón: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$  trong đó $r$ là bán kính đáy và $h$ là độ dài đường cao của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối nón là:

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.25^2}.20$$\approx 13083,3\left( {c{m^3}} \right)$

LG c

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là $12 cm$. Tính diện tích thiết diện đó.

Phương pháp giải:

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác cân. Tính diện tích tam giác cân $S = \dfrac{1}{2}ah$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử thiết diện $SAB$ đi qua đỉnh $S$ cắt đường tròn đáy tại $A$ và $B$. Gọi $I$ là trung điểm của dây cung $AB$. Từ tâm $O$ của đáy vẽ $OH$ vuông góc với $SI$.

Ta có $\left\{ \matrix{ AB \bot OI \hfill \cr  AB \bot SO \hfill \cr} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right)$$\Rightarrow AB \bot OH$

Từ đó $\left\{ \matrix{ OH \bot AB \hfill \cr  OH \bot SI \hfill \cr} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow OH = 12cm$

Trong tam giác vuông $SOI$ ta có: $\displaystyle {1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{I^2}}} + {1 \over {O{S^2}}}$

$\eqalign{ & \Rightarrow {1 \over {O{I^2}}} = {1 \over {O{H^2}}} - {1 \over {O{S^2}}} \cr  & = {1 \over {{{12}^2}}} - {1 \over {{{20}^2}}} = {{256} \over {57600}} = {1 \over {225}} \cr  & \Rightarrow OI = 15cm \cr}$

Xét tam giác vuông $OAI$ ta có $AI^2 = OA^2 – OI^2 = 25^2 – 15^2 = 20^2$

Vậy $AI = 20cm$$\Rightarrow AB = 20.2 = 40\,cm$

Ta có: $SI.OH = SO.OI$$\displaystyle \Rightarrow SI = {{SO.OI} \over {OH}} = {{20.15} \over {12}} = 25cm$  

Vậy diện tích thiết diện $SAB$ là: ${S_{SAB}} = \displaystyle {1 \over 2}SI.AB$$\displaystyle= {1\over2}25.40 = 500\left( {c{m^2}} \right)$ 

Loigiaihay.com