Giải bài 8 trang 40 SGK Hình học lớp 12

LG a

a) Gọi $S_1$ là diện tích xung quanh của hình trụ và $S_2$ là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số ${{{S_1}} \over {{S_2}}}$.

Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh của hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi Rh$ với $R;h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

+) Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi rl$ với $r;l$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Hình trụ có chiều cao $l = h = r\sqrt3$ và bán kính đáy $r$ nên diện tích xung quanh hình trụ là:

$$S_1 = 2πr.h = 2πr.r\sqrt3 = 2\sqrt3 πr^2$$

Với $M$ là một điểm bất kì thuộc đường tròn $(O)$ thì $O'M$ là một đường sinh của hình nón ta có: 

$l' = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}}  = \sqrt {3{r^2} + {r^2}}  = 2r$

Hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l=2r$ nên diện tích xung quanh hình nón là:

$$S_2 = πrl'= π.r.2r = 2πr^2$$

Vậy: ${{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{2\sqrt 3 \pi {r^2}} \over {2\pi {r^2}}} = \sqrt 3$

LG b

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.

Phương pháp giải:

Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.

+) Tính thế tích của khối nón: ${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ và thể tích của hình trụ: $V = \pi {r^2}h$

+) Suy ra thể tích phần còn lại: ${V_2} = V - {V_1}$.

+) Tính tỉ số: $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$

Lời giải chi tiết:

Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.

Gọi V là thể tích khối trụ ta có: $V = \pi {r^2}h$

Gọi $V_1$ là thể tích khối nón ta có: ${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$

Gọi $V_2$ là thế tích phần còn lại ta có: ${V_2} = V - {V_1} = \pi {r^2}h - \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{2}{3}\pi {r^2}h$

Vậy tỉ số $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\dfrac{2}{3}\pi {r^2}h}} = \dfrac{1}{2}$.

Cách khác:

Tính trực tiếp như sau:

Thể tích khối trụ là:

${V_{\text{trụ}}} = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.r\sqrt 3  = \pi {r^3}\sqrt 3$

Thể tích khối nón là:

${V_{\text{nón}}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}.r\sqrt 3  = \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3}$

Thể tích của khối trụ nằm ngoài khối nón là:

$V = {V_{\text{trụ}}} - {V_{\text{nón}}} = \pi {r^3}\sqrt 3  - \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}$

Mặt xung quanh của hình nón chia khối tru thành hai phần, tỉ số thể tích hai phần đó là:

$\frac{V}{{{V_{\text {nón}}}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}:\frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3} = 2$

Loigiaihay.com