Bài 28 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) khi và chỉ khi \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\).

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

\(\begin{array}{l}
5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\\
\Leftrightarrow 5.\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 5.\frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\
= \frac{{2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2}}}{4} + \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 10\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - 5{a^2}\\
= 2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}\\
\Leftrightarrow 10{b^2} + 10{c^2} - 5{a^2}\\
= 2{c^2} + 2{a^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}\\
\Leftrightarrow 9{b^2} + 9{c^2} - 9{a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \)  Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\).

Loigiaihay.com