Bài 27 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $E, F, K$ theo thứ tự là trung điểm của $AD, BC, AC.$

a) So sánh các độ dài $EK$ và $CD, KF$ và $AB.$

b) Chứng minh rằng $EF  ≤ \dfrac{AB+CD}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $∆ACD$ có $E, K$ theo thứ tự là trung điểm của $AD, AC$ (giả thiết)

$\Rightarrow EK$ là đường trung bình của $∆ACD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow EK = \dfrac{CD}{2}$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

- Xét $∆ABC$ có $K, F$ theo thứ tự là trung điểm của $AC, BC$ (giả thiết)

$\Rightarrow FK$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow KF = \dfrac{AB}{2}$  (tính chất đường trung bình của tam giác).

b) TH1: Ba điểm $E, K, F$ không thẳng hàng

Xét $\Delta EFK$ có: $EF  < EK + KF$ (bất đẳng thức tam giác)

Nên $EF < EK + KF = \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2}$$\,= \dfrac{AB+CD}{2}$

Hay $EF < \dfrac{AB+CD}{2}$ (1)

TH2: Ba điểm $E, K, F$ thẳng hàng

Khi đó:  $EF = EK + KF = \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2}$$\,= \dfrac{AB+CD}{2}$

Hay $EF = \dfrac{AB+CD}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EF \le \dfrac{AB+CD}{2}$.

Loigiaihay.com