Bài 28 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thang $ABCD$ ($AB // CD$), $E$ là trung điểm của $AD,$ $F$ là trung điểm của $BC.$ Đường thẳng $EF$ cắt $BD$ ở $I,$ cắt $AC$ ở $K.$

a) Chứng minh rằng $AK = KC, BI = ID.$

b) Cho $AB = 6\,cm, CD = 10\,cm.$ Tính các độ dài $EI, KF, IK.$

Lời giải chi tiết

a) Hình thang $ABCD$ có $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ (giả thiết)

$\Rightarrow  EF$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang )

$\Rightarrow EF // AB // CD$ (tính chất đường trung bình của hình thang) 

$\Rightarrow FK//AB, EI//AB$

Xét $∆ABC$ có: $F$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết) và $FK // AB$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow  AK = KC$ (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba )

Xét $∆ABD$ có: $E$ là trung điểm của $AD$ (giả thiết) và $EI // AB$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow  DI = IB$ (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ).        

b) Vì $EF$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ (chứng minh trên)

nên $EF = \dfrac{AB+CD}{2} = \dfrac{6+10}{2} = 8\,cm$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

Xét $∆ABD$ có: $AE = ED$ (giả thiết) và $DI = IB$ (chứng minh trên)

 $\Rightarrow  EI$ là đường trung bình của $∆ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 $\Rightarrow  EI = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)$ (tính chất đường trung bình của  tam giác)

Xét $∆ABC$ có: $BF = FC$ (giả thiết) và $AK = KC$ (chứng minh trên)

 $\Rightarrow  KF$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 $\Rightarrow  KF = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)$ (tính chất đường trung bình của  tam giác)

Lại có $EF = EI + IK + KF$

nên $IK = EF - (EI + KF) = 8 - (3 + 3)$$\, = 2 \;(cm).$

Loigiaihay.com