Bài 25 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng caoChứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ thì Quảng cáo
Đề bài Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số \(k\) biến tứ diện \(ABCD\) thành tứ diện \(A’B’C’D’\)a thì \({{{V_{A'B'C'D'}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {\left| k \right|^3}\) Lời giải chi tiết
Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD). Giả sử phép vị tự tỉ số k biến A, B, C, D, H lần lượt thành A’, B’, C’, D’, H’. Hơn nữa, theo tính chất của phép vị tự thì: A’H’ song song hoặc trùng với AH; Và (B’C’D’) song song hoặc trùng với (BCD) Mà AH ⊥ (BCD) nên A'H'⊥(B'C'D'). Vậy A’H’ là đường cao của tứ diện (A’B’C’D’) (1) Mặt khác, dễ thấy: \(\widehat {CBD} = \widehat {C'B'D'} = \varphi \) (2) Hơn nữa, cũng từ tính chất của phép vị tự ta có: \(\frac{{A'H'}}{{AH}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = \left| k \right|\) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{\frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}B'C'.B'D'\sin \varphi }}{{\frac{1}{2}BC.BD\sin \varphi }}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = \frac{{B'C'}}{{BC}}.\frac{{B'D'}}{{BD}}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = {\left| k \right|^3}\end{array}\) Loigiaihay.com  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
