Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B’C$. Gọi $M$ là trung điểm của $AA’$. Mặt phẳng đi qua $M, B’, C$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là $a$, độ dài cạnh bên của lăng trụ là $b$.
Kẻ đường cao $CH$ của tam giác $ABC$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot AA'\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow CH \bot \left( {ABB'A'} \right)$

$\Rightarrow CH \bot \left( {ABB'M} \right)$.

$\Rightarrow {V_{C.ABB'M}} = \frac{1}{3}CH.{S_{ABB'M}}$

+) $CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}}$ $= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

+) Diện tích hình thang $ABB’M$ là: ${S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left( {AM + BB'} \right)AB$ $= {1 \over 2}\left( {{b \over 2} + b} \right).a = {{3ab} \over 4}$

Thể tích khối chóp $C.ABB’M$ là: ${V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH$ $= {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}$

Lại có ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB$$= \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là: ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA'$ $= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{CC'ABM}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABB'M}}\\ = \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{4} - \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{C.ABB'M}}}}{{{V_{CC'ABM}}}} = 1 \end{array}$

Chú ý: Có thể chứng minh được hai khối chóp $C.ABB’M$ và $B’A’C’CM$ có cùng chiều cao và có diện tích đáy bằng nhau nên chúng có thể tích bằng nhau.

Cách khác:

Gọi V, S, h lần lượt là thể tích và diện tích đáy, chiều cao của lăng trụ: V= S.h. V₁,V₂ lần lượt là thể tích phần lăng trụ bên trên, bên dưới thiết diện MB’C

E = CM ∩ C'A', do M là trung điểm của AA’ nên A’E = A’C’

S_ΔEA'B'=S_ΔA'B'C' =S

Ta có:

Loigiaihay.com