Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$f\left( x \right) = {x \over {{x^2} + 1}};$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = {\mathbb{R}}$

$f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr  x = - 1,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$, giá trị cực tiểu $f\left( { - 1} \right) =  - {1 \over 2}$.

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1$, giá trị cực đại $f\left( 1 \right) = {1 \over 2}$.

LG b

$f\left( x \right) = {{{x^3}} \over {x + 1}};$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

$\eqalign{ & f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\cr&= {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}   \cr  & f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr  & f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr}$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x =  - {3 \over 2}$, giá trị cực tiểu $f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}$.

Hàm số không có cực đại.

LG c

$f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} ;$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]$

$f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5$

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại $f\left( 0 \right) = \sqrt 5$.

Hàm số không có cực tiểu.

LG d

$f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1}$.

Lời giải chi tiết:

$f\left( x \right)$ xác định khi và chỉ khi ${x^2} - 1 \ge 0$ $\Leftrightarrow x \le  - 1$ hoặc $x \ge 1$.

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$

$f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}$ 

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 0 \hfill \cr  {x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.$ vô nghiệm

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$ và đồng biến trên $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

Chú ý:

Để xét dấu nhanh và chính xác trong các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ thì ta chỉ cần cho x nhận 1 giá cụ thể thuộc khoảng đó. Chẳng hạn,

$f'\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0$ với mọi $x <  - 1$.

$f'\left( { - 2} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 2$ với mọi $x > 1$.

Loigiaihay.com