Bài 20 trang 22, SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: \(P(n)=480 – 20n\).

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Lời giải chi tiết

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng \(nP(n)=480n-20n^2\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 480x - 20{x^2}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

(Biến số \(n \in {\mathbb{N}}^*\) được thay bằng biến số \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\))

Ta có \(f'\left( x \right) = 480 - 40x\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 12\)

Bảng biến thiên:

Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), hàm số \(f\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x=12\).

Từ đó suy ra rằng trên tập \(\mathbb N^*\) các số nguyên dương, hàm số \(f\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(n=12\).

Vậy muốn thu hoạch được nhều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả \(12\) con cá.

Loigiaihay.com