Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\) biết:

a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);                 

b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\).

Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a  = 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a  = 1\)

\(\Leftrightarrow {\cos ^2}a =  1 - \frac{1}{9}= \frac{8}{9}\)

\(\Leftrightarrow \cos a  =\pm\sqrt { \frac{8}{9}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Vì \(\cos a < 0\) nên \(\cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a \)

\(= 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} \)

\(= \frac{{2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 - {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}\).

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\) nên \(\sin a > 0,\cos a < 0\).

Có \({\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} \)

\(= {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a \)

\(= 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\).

Suy ra \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

\(= \frac{1}{4} - 1 =  - \frac{3}{4}\).

Ta có: \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} - {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - \cos a - \frac{3}{4} = 0\)

\( \Rightarrow \cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) (vì \(\cos a < 0)\).

\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 \)

\(= 2.{\left( {\frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).

\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\).