Trang chủ
Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học

Bài 18 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

Quảng cáo

Đề bài

Tính thể tích của khối lăng trụ \(n\)-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V=Bh.

Lời giải chi tiết

Gọi \({A_1}{A_2}...{A_n}\) là đáy của khối lăng trụ \(n\)-giác đều và \(O\) là tâm của đáy.
Gọi \(I\) là trung điểm của \({A_1}{A_2}\) ta có \(OI \bot {A_1}{A_2}\).
Trong \(\Delta {A_1}IO\): \(\cot \widehat {{A_1}OI} = {{OI} \over {{A_1}I}} \)

\( \Rightarrow OI = {A_1}I\cot \widehat {{A_1}OI}\)

Mà \({A_1}I = \frac{1}{2}{A_1}{A_2} = \frac{a}{2}\) và \(\widehat {{A_1}OI} = \frac{1}{2}\widehat {{A_1}O{A_2}} = \frac{1}{2}.\frac{{2\pi }}{n} = \frac{\pi }{n}\) nên \(OI = \frac{a}{2}.\cot \frac{\pi }{n}\)

\( \Rightarrow {S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2}OI.{A_1}{A_2}\) \( = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}\cot \frac{\pi }{n}.a = \frac{{{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}\)

Diện tích đáy của khối lăng trụ đều là \( {S} = n.{S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{{n{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}\)

Chiều cao của khối lăng trụ đều là \(a\) nên thể tích của nó là:

\( V = Bh = \frac{{n{a^2}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}.a = \frac{{n{a^3}}}{4}\cot \frac{\pi }{n}\)

Loigiaihay.com

  • Bài 19 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b. . Đường thẳng BC’ tạo với mp(AA’C’C) một góc . a) Tính độ dài đoạn thẳng AC. b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

  • Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều ba điểm A, B, c, cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó. b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB' là một hình chữ nhật. c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

  • Bài 21 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a ?

  • Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B’C. Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

  • Bài 23 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB,SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C' khác với S. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'. Chứng minh rằng:

Quảng cáo
Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
close