Bài 18 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1$

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \sin x, - 1 \le t \le 1$

$y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1$

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.

Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\mathbb R$.

$f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 2}$

Ta có: $f\left( { - 1} \right) =  - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {3 \over 2};$ $f\left( 1 \right) = 3$

Bảng biến thiên:

$\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  =  - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = 3$

Vậy $\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  =  - {3 \over 2}$ đạt được khi 

$\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$

$\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = 3$ đạt được khi $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

LG b

$y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4$ $=  - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5$

Đặt $t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1$

$y = f\left( t \right) =  - {t^2} - {1 \over 2}t + 5$

$f'\left( t \right) =  - 2t - {1 \over 2}$

$f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]$

Ta có: $f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};$ $f\left( 1 \right) = {7 \over 2}$

BBT:

$\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {7 \over 2};\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]}  = {{81} \over {16}}$

Vậy $\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {7 \over 2}$ đạt được khi $\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi$

$\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}}  = {{81} \over {16}}$ đạt được khi 

$\sin 2x = - \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\ 2x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.$

Loigiaihay.com