Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$y = x\sqrt {4 - {x^2}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$

$y' = \sqrt {4 - {x^2}}  + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}$ $= {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2$

$y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x =  - \sqrt 2$; giá trị cực tiểu $y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = \sqrt 2$; giá trị cực đại $y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2$

LG b

$y = \sqrt {8 - {x^2}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]$

$y'  = \frac{{\left( {8 - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }}= {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$, giá trị cực đại $y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2$

LG c

$y = x - \sin 2x + 2$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\,y' = 1 - 2\cos 2x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi  \over 3}$

$\Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}$

$y'' = 4\sin 2x$

* Ta có: $y''\left( {-{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)$ $= 4\sin \left( { - {\pi  \over 3}} \right) =  - 2\sqrt 3  < 0$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x =  - {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}$

Giá trị cực đại

$y\left( { - {\pi  \over 6} + k\pi } \right) =  - {\pi  \over 6} + k\pi  + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2$

$y''\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right)  = 4\sin \left( {  \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)$ $= 4\sin \left( {{\pi  \over 3}} \right) = 2\sqrt 3  > 0$.

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x = {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}$

Giá trị cực tiểu:

$y\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = {\pi  \over 6} + k\pi  - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2$

LG d

$y = 3 - 2\cos x - \cos 2x$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc 2.

$y' = 2\sin x + 2\sin 2x$ $= 2\sin x + 2.2\sin x\cos x$ $= 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x = 0 \hfill \cr  \cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr  x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,k \in {\mathbb{Z}} \hfill \cr} \right.$

$y''  = \left( {2\sin x + 2\sin 2x} \right)'$ $= 2\cos x + 4\cos 2x.$

$y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi  + 4\cos 2k\pi$ $= 2\cos k\pi  + 4 > 0$ với mọi $k \in {\mathbb{Z}}$

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm $x = k\pi$, giá trị cực tiểu:

$y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi  - \cos 2k\pi$ $= 2 - 2\cos k\pi$

$y''\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right)$ $= 2\cos \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right)$ $+ 4\cos \left( { \pm \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi } \right)$ $= 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 4.\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 3 < 0.$

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm $x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}$; giá trị cực đại:

$y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right)$ $= 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}$.

Loigiaihay.com