Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Tìm quỹ tích các điểm M sao cho $M{A^2} - M{B^2} = 2.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử M(x, y, z) ta có: $M{A^2} - M{B^2} = 2.$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {2 - z} \right)^2} \cr &- {\left( {2 - x} \right)^2} - {y^2} - {\left( {1 - z} \right)^2} = 2 \cr  & \Leftrightarrow 2x + 2y - 2z - 1 = 0. \cr}$

Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình $2x + 2y - 2z - 1 = 0.$

LG b

Tìm quỹ tích các điểm N sao cho $N{A^2} + N{B^2} = 3.$

Lời giải chi tiết:

Giả sử N(x, y, z) ta có: $N{A^2} + N{B^2} = 3.$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {2 - z} \right)^2} \cr &+ {\left( {2 - x} \right)^2} + {y^2} + {\left( {1 - z} \right)^2} = 3 \cr  & \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + y - 3z + 4 = 0 \cr  & \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z - {3 \over 2}} \right)^2} = {3 \over 4}. \cr}$

Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm $I\left( {{3 \over 2}; - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)$, bán kính ${{\sqrt 3 } \over 2}.$

LG c

Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (OAB) đi qua O, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 1;3;2} \right)$ nên có phương trình: $- x + 3y + 2z = 0.$
Mp(Oxy) có phương trình z = 0.
Điểm M(x, y, z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi:

$\eqalign{ & {{\left| { - x + 3y + 2z} \right|} \over {\sqrt {1 + 9 + 4} }} = \left| z \right| \cr &\Leftrightarrow - x + 3y + 2z = \pm \sqrt {14} z \cr  & \Leftrightarrow x - 3y + \left( { \pm \sqrt {14} - 2} \right)z = 0. \cr}$

Loigiaihay.com