Bài 1 trang 15 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(-1;3)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $x-2y + 3 = 0$. Tìm ảnh của $A$ và $d$ qua phép đối xứng tâm $O$.

Lời giải chi tiết

Gọi $A'$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm $O$, khi đó $O$ là trung điểm của $AA'$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_O} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\ {y_O} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right) = 1\\ {y_{A'}} = 2.0 - 3 = - 3 \end{array} \right.$

$\Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)$

Để tìm ảnh của đường thẳng $d$ ta có thể dùng các cách sau:

Cách 1:

+) Lấy 2 điểm bất kì thuộc $d.$

(Bằng cách chọn giá trị cho $x$ (hoặc $y$) rồi thay vào phương trình của $d$, suy ra giá trị của $y$ (hay $x)$. )

Chọn $y=0$ ta có: $x-2.0+3=0 \Rightarrow x=-3 \Rightarrow B(-3;0) \in d$

Chọn $x=-1$ ta có: $-1-2y+3=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow C (-1;1) \in d$.

Do đó, đường thẳng $d$ đi qua $B(-3;0)$ và $C (-1;1)$.

+) Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm $O$: 

$B' = {D_{O}}(B) = (3;0)$ và $C' = {D_{O}}(C) = (1;-1)$.

Đường thẳng $B'C'$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O.$

$\overrightarrow {B'C'}  = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{B'C'}}}  = \left( {1; - 2} \right)$ là VTPT của $B'C'.$

+) Phương trình$B'C'$ đi qua $B'(3;0)$, có $VTPT \, \overrightarrow {{n_{B'C'}}}  = \left( {1; - 2} \right)$  là:

$1(x-3)-2(y-0)=0$ hay $x-2y-3=0.$

Cách 2:

Đường thẳng $d$ đi qua $B(-3;0)$

Do $O$ không thuộc $d$ nên gọi $d'$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$ thì nó song song với $d$.

Do đó $d'$ có phương trình $x- 2y +C =0$ $\left( {C \ne 3} \right)$.

Gọi $B'$ là ảnh của $B$ qua phép đối xứng tâm $O$ ta có: $B' =( 3;0)$

Vì $B' \in (d') \Rightarrow 3+C=0 \Rightarrow C = -3$ (tm).

Vậy ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$ là đường thẳng $d'$ có phương trình $x-2y-3=0$

Loigiaihay.com