Lý thuyết tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác 

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác đầu kia là trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) có \(D\) là trung điểm cạnh \(BC\) thì \(AD\) là một đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) 

Như vậy, nếu \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của ba cạnh \(BC,AC,AB\) thì \(AD,BE,CF\) là ba đường trung tuyến của tam giác \(ABC\)

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

GT : \(∆ ABC\) có \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của ba cạnh \(BC,AC,AB\) và \(G\) là trọng tâm

KL : \(\dfrac{AG}{AD} = \dfrac{BG}{BE} = \dfrac{CG}{CF} = \dfrac{2}{3}\)

3. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giác.

Với G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(AD,BE,CF\) là ba đường trung tuyến ta có

\(AG = \dfrac{2}{3}AD;\) \(BG = \dfrac{2}{3}BE;\) \(CG = \dfrac{2}{3}CF.\)

Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông)

Phương pháp:

Chú ý rằng trong tam giác cân ( hoặc tam giác đều) đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền