Lý thuyết quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác

I. Kiến thức cơ bản

1. Bất đẳng thức tam giác

Định lý. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại

Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại

Trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(|AB - AC| < BC < AB + AC\).

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định xem có tồn tại một tam giác với ba cạnh là ba độ dài cho trước hay không?

Phương pháp:

+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là \(a,b,c\) nếu

\(\left| {b - c} \right| < a < b + c\)

+  Trong các trường hợp xác định được \(a\) là số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ thì điều kiện để tồn tại tam giác là \(a < b + c\)

Dạng 2: Xác định khoảng giá trị của một cạnh của tam giác

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Trong tam giác có ba cạnh có độ dài \(a,b,c\) bao giờ cũng có bất đẳng thức \(\left| {b - c} \right| < a < b + c\). Từ bất đẳng thức này ta suy ra khoảng giá trị của \(a.\)

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức về độ dài

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức. Chú ý đến các phép biến đổi sau:

+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức \(a > b \Rightarrow a + c > b + c.\)

+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:

\(\left. \begin{array}{l}a < b\\c < d\end{array} \right\} \Rightarrow a + c < b + d.\)

Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai độ dài

Phương pháp:

Với ba điểm \(M,B,C\) bất kì ta có \(BM + MC \ge BC.\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(M\) thuộc đoạn \(BC\).

Như vậy, nếu độ dài đoạn \(BC\) không đổi thì tổng \(BM + MC\) nhỏ nhất bằng \(BC\) khi và chỉ khi \(M\) thuộc đoạn \(BC\).