Lý thuyết phương trình đường tròn

1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình đường tròn có tâm $I(a; b)$, bán kính $R$ là :

$${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$$

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn  ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$  có thể được viết dưới dạng 

$${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$

trong đó $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}$

$\Rightarrow$ Điều kiện để phương trình ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn $(C)$ là: ${a^2} + {b^2}-c>0$. Khi đó, đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2}+b^{2} - c}$

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm ${M_0}({x_0};{y_0})$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm  $I(a; b)$.Gọi $∆$ là tiếp tuyến với $(C)$ tại $M_0$

Ta có $M_0$ thuộc $∆$ và vectơ $\vec{IM_{0}}=({x_0} - a;{y_0} - b)$ là vectơ  pháp tuyến cuả $∆$

Do đó  $∆$ có phương trình là:

$({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0$      (1)

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$  tại điểm $M_0$ nằm trên đường tròn.

4. Bài tập về phương trình đường tròn

Bài 1: Cho đường cong (C_m): x²+y²-2mx-4(m-2)y+6-m=0. Tìm điều kiện của m để (C_m) là phương trình đường tròn.

Lời giải: 

Điều kiện để $(C_m)$ là phương trình đường tròn là:

$\eqalign{ & {a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4{\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {6 - m} \right) > 0 \cr & \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m > 2 \hfill \cr m < 1 \hfill \cr} \right. \cr}$

Bài 2: Viết phương trình của đường tròn có tâm $I\left( -3;4 \right)$và bán kính $R=2$

Lời giải:

Phương trình của đường tròn có tâm $I(-3;4)$ và bán kính $R=2$ là: ${{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}={{2}^{2}}$ hay${{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}-4=0$

Bài 3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-8y+1=0$

B. $4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-6y-2=0$

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-8y+20=0$                                     

D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y-12=0$

Lời giải: 

${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-8y+1=0$ không phải là phương trình đường tròn. Vì ${{x}^{2}}:{{y}^{2}}=1:2\ne 1:2$ 

$4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-6y-2=0$ không phải là phương trình đường tròn. Vì ${{x}^{2}}:{{y}^{2}}=4:1\ne 1:2$

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-8y+20=0$có $a=1\,\,,b=4,\,\,c=20$. Ta thấy $a,b,c$không thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c$. Đây không phải là một phương trình đường tròn. 

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y-12=0$ có $a=2,\,\,b=-3,\,\,c=-12$. Ta thấy $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c$. Đây là một phương trình đường tròn.

Chọn đáp án D.

Bài 4: Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+1=0$  là phương trình của đường tròn nào?

Lời giải:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+1=0$ có hệ số $a=1,b=-2,c=2$  sẽ có tâm $I\left( 1;-2 \right)$ và $R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}-1}=2$

Bài 5: Trong số các đường tròn có phương trình dưới đây, đường tròn nào đi qua gốc tọa độ$O(0,0)$?

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$ 

B.  ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y+2=0$

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8=0.$

D.  ${{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=25.$

Lời giải: 

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$ Thay $x=0,y=0$ ta có ${{0}^{2}}+{{0}^{2}}=2$ là mệnh đề sai.

B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y+2=0$. Thay $x=0,y=0$ ta có $2=0$ là mệnh đề sai.

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8=0.$ Thay $x=0,y=0$ ta có $8=0$ là mệnh đề sai.

D. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25.$ Thay $x=0,y=0$ ta có ${{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}=25$ là mệnh đề đúng. Vậy ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25.$ đi qua gốc tọa độ.

Chọn đáp án D.

Bài 6: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm $I(2;-4)$  và đi qua điểm $A(1;3)$ 

Lời giải:

Ta có: $R=IA=\sqrt{{{\left( 1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3+4 \right)}^{2}}}=\sqrt{50}$

Phương trình đường tròn (C) có tâm $I\left( 2;-4 \right)$có bán kính $R=\sqrt{50}$ là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=50.$

Bài 7: Xác định mối quan hệ giữa điểm $M(4;2)$  và đường tròn $(C)$  có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-6y+21=0$

Lời giải:

Đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x-6y+21=0$ sẽ có tâm $I\left( 4;3 \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}-21}=2$.

Ta có $MI=\sqrt{{{\left( 4-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}=1<R=2\Rightarrow M$ nằm trong $\left( C \right)$

Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm $O\left( 0;0 \right)$  và đi qua điểm $A(1;3)$

Lời giải:

Ta có $R=OA=\sqrt{{{\left( 1-0 \right)}^{2}}+{{\left( 3-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{10}$

Phương trình đường tròn (C) có tâm $O\left( 0;0 \right)$ có bán kính $R=\sqrt{10}$ là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10.$

Bài 9: Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d có phương trình$x-2y+5=0$  và đi qua hai điểm$A\left( 0;4 \right),\,B\left( 2;6 \right)$

Lời giải:

Giả sử điểm $I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)$ là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng $x-2y+5=0$ nên ta có ${{x}_{I}}-2{{y}_{I}}+5=0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm $A\left( 0;4 \right),\,\,B\left( 2;6 \right)$ nên ta có $IA=IB$. Điều này tương đương với $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}$  hay ${{\left( {{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( 4-{{y}_{I}} \right)}^{2}}={{\left( 2-{{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( 6-{{y}_{I}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}_{I}}+{{y}_{I}}-6=0\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 2{y_I} + 5 = 0\\{x_I} + {y_I} - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{7}{3}\\{y_I} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right)$.

Mặt khác ta có $R=IA=\sqrt{{{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{11}{3}-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}$ 

Vậy (C) có dạng $\left( C \right):{{\left( x-\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{11}{3} \right)}^{2}}=\frac{50}{9}$

Bài 10: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm $A(1;4),B(-4;0)$ và $C(-2;2)$

Lời giải:

Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-17x+21y-84=0$