Lý thuyết ôn tập chương 5

I. Phân số

a) Định nghĩa phân số

Người ta gọi $\dfrac{a}{b}$ với $a,b \in Z;b \ne 0$ là một phân số, $a$ là tử số (tử), $b$ là mẫu số (mẫu) của phân số.

b) Hai phân số bằng nhau

Hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ gọi là bằng nhau nếu $a.d = b.c$

c) Hai tính chất cơ bản của phân số

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a.m}}{{b.m}}$ với $m \in Z$ và $m \ne 0$ .

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}$ với $n \in $ ƯC$\left( {a,b} \right)$.

II. Rút gọn phân số

+) $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}$ ($n$ là ước chung của $a$ và $b$).

+) Nếu \(a,b\) chỉ có ước chung là $1$ và $ - 1$ thì phân số $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản.

III. Quy đồng phân số

Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta là như sau :

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để là mẫu chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

IV. So sánh hai phân số

a) So sánh hai phân số cùng mẫu

- Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

b) So sánh hai phân số không cùng mẫu

- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

V. Hỗn số, số đối, phân số nghịch đảo

a) Hỗn số

Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương, $a > b$, $a$ không chia hết cho $b$. Nếu $a$ chia cho $b$ được thương là $q$ và số dư là $r$, thì ta viết $\dfrac{a}{b} = q\dfrac{r}{b}$ và gọi $q\dfrac{r}{b}$ là hỗn số.

b) Số đối

Số đối của phân số $\dfrac{a}{b}$ là $ - \dfrac{a}{b}$.

c) Phân số nghịch đảo

Phân số nghịch đảo của phân số $\dfrac{a}{b}$ là $\dfrac{b}{a}$

VI. Cộng, trừ phân số

a) Cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

$\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a + b}}{m}$

b) Cộng hai phân số khác mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu chung.

c) Qui tắc trừ hai phân số

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ.

$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left( { - \dfrac{c}{d}} \right)$

VII. Nhân, chia phân số

a) Nhân hai phân số

+ Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{a.c}}{{b.d}}$ $(b,d \ne 0$)

+ Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu: 

$a.\dfrac{b}{c} = \dfrac{{a.b}}{c}$ $(c \ne 0)$

b) Chia hai phân số

Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia.

$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{a.d}}{{b.c}}$ $(b,c \ne 0$)

$a:\dfrac{c}{d} = a.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{a.d}}{c}\left( {c \ne 0} \right)$

VIII. Hai bài toán về phân số

Bài toán 1: Tìm giá trị phân số của một số cho trước

Muốn tìm $\dfrac{m}{n}$ của số $b$ cho trước, ta tính $b.\dfrac{m}{n}$ $\left( {m,n \in \mathbb{N},n \ne 0} \right)$

Bài toán 2: Tìm một số biết giá trị một phân số của nó

Muốn tìm một số biết $\dfrac{m}{n}$của nó bằng $a$, ta tính $a:\dfrac{m}{n}$ $\left( {m,n \in \mathbb{N}*} \right)$.