Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian

1. Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc $O$, đôi một vuông góc với nhau $x'Ox ; y'Oy ; z'Oz$. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc $Oxyz$; $O$ là gốc tọa tọa độ. Giả sử $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $x'Ox, y'Oy, z'Oz$ (h. 52)

Với điểm $M$ thuộc không gian $Oxyz$ thì tồn tại duy nhất bộ số $(x ; y ; z)$ để

$\overrightarrow{OM}= x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$,

bộ $(x ; y ; z)$ được gọi là tọa độ của điểm $M(x ; y ; z)$.

Trong không gian Oxyz cho vectơ $\overrightarrow{a}$, khi đó $\overrightarrow{a}= a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$

Ta viết $\overrightarrow{a}$$({a_1};{a_2};{a_3})$ và nói $\overrightarrow{a}$ có tọa độ $({a_1};{a_2};{a_3})$ .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giả sử $\overrightarrow{a}$= $({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow{b}$ = $({b_1};{b_2};{b_3})$, thì:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ $= ({a_{1\;}} + {b_1};{a_2}\; + {\rm{ }}{b_2};{\rm{ }}{a_3} + {b_3}\;).$

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ $= ({a_{1\;}} - {b_1};{a_2}\; - {\rm{ }}{b_2};{\rm{ }}{a_3} - {b_3}\;).$

$k.\overrightarrow{a}$ $= (k{a_1};k{a_2};k{a_3}).$

3. Tích vô hướng

Cho $\overrightarrow{a}$$({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow{b}$ $({b_1};{b_2};{b_3})$ thì tích vô hướng $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ $= \;{a_1}.{b_1}\; + {\rm{ }}{a_2}.{b_2}\; + {\rm{ }}{a_3}.{b_3}$

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.$

Đặt $\varphi =\left (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right )$ , 0 ≤ $\varphi$ ≤ 180⁰  thì $cos\varphi =\dfrac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ (với $\overrightarrow{a}$ ≠ $\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{b}$≠ $\overrightarrow{0}$)

4. Phương trình mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a ; b ; c)$ bán kính $R$ có phương trình chính tắc  $${\left( {x - a} \right)^{2\;}} + {\left( {y-b} \right)^2} + {\left( {z-c} \right)^2}\; = {R^2}$$

Mặt cầu có phương trình tổng quát ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( { - a; - b; - c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$