Lý thuyết đường tiệm cận

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$.

1. Tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=a$ là đường tiệm cận đứng của $(C)$ nếu ít nhất một trong bốn điều kiện sau được thoả mãn:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \cr}$

2. Tiệm cận ngang

Đường thẳng $y = b$ là tiệm cận ngang của $(C)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = b \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = b \cr}$

Chú ý

- Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, do đó trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức, ta không cần tìm các tiệm cận này.

3. Tiệm cận xiên

Chỉ có khái niệm “Tiệm cận của đồ thị hàm số”, KHÔNG có “Tiệm cận của hàm số”.

4. Bài tập về Đường tiệm cận

Câu 1: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{ - 3x + 2}}$ là?

A. $x = \dfrac{2}{3}$

B. $y = \dfrac{2}{3}$

C. $x =  - \dfrac{1}{3}$

D. $y =  - \dfrac{1}{3}$

Lời giải: 

Đồ thị hàm số có TCN là $y =  - \dfrac{1}{3}$.

Đáp án D

Câu 2: Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}$ có đồ thị $(C)$. Tìm tọa độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$

A. $I\left( { - 2;2} \right)$

B. $I\left( { - 2; - 2} \right)$

C. $I\left( {2;1} \right)$

D. $I\left( { - 2;1} \right)$

Lời giải:

Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận $x=-2;y=1$ nên giao $2$ đường tiệm cận là $I(-2;1)$.

Đáp án D

Câu 3: Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}}$ có tiệm cận ngang $y = 2$ và tiệm cận đứng $x = 1$ thì $a + c$ bằng

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

Lời giải:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } {\mkern 1mu} \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow y = \dfrac{a}{2}$ là tiệm cận ngang của ĐTHS

$\Rightarrow \dfrac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4.$

Và $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt}  - {\kern 1pt} \dfrac{c}{2}} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt}  - {\kern 1pt} \dfrac{c}{2}} {\mkern 1mu} \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}} = \infty  \Rightarrow x =  - \dfrac{c}{2}$ là tiệm cận đứng của ĐTHS

$\Rightarrow  - \dfrac{c}{2} = 1 \Rightarrow c =  - {\mkern 1mu} 2.$

Vậy tổng $a + c = 4 - 2 = 2.$

Đáp án B

Câu 4: Cho hàm số $y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}$ có đồ thị $\left( H \right).$ Số đường tiệm cận của $\left( H \right)$ là:

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Lời giải:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} \infty } \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Và $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt}  \to {\kern 1pt} 2} \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có $2$ đường tiệm cận.

Đáp án A

Câu 5: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ là:

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Lời giải:

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - \infty \end{array}$

Suy ra $x =  - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - 1\end{array}$

Suy ra $y = 1,\,\,y =  - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án C

Câu 6: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?

A. $y = \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x + 6}}$

B. $y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}$

C. $y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}$

D. $y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }}$

Lời giải:

Đáp án A: Đồ thị hàm số chỉ có $1$ đường tiệm cận $y = 0$.

Đáp án B: Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}$ có 1 TCN là $y = 0$ và 2 TCĐ là $x =  \pm 3$ nên có $3$ tiệm cận.

Đáp án C: Đồ thị hàm số có $2$ tiệm cận là $y = 1,x = 1$.

Đáp án D: 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  \dfrac{{x + 1}}{|x|{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  \dfrac{{x + 1}}{-x{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }}=-1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  +\infty }  \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} = 1$

Đồ thị hàm số chỉ có $2$ tiệm cận là $y =  \pm 1$.

Đáp án B

Câu 7: Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 2x - 1 + \sqrt {4{x^2} - 4}$ là

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Lời giải:

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\mkern 1mu} y =  + \infty .$

Lại có

$\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x - 1 + \sqrt {4{x^2} - 4} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} - 4}  + 2x - 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)}}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {4{x^2} - 4} \right) - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{4x - 5}}{{\sqrt {4{x^2} - 4}  - \left( {2x - 1} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - x\left( { - 4 + \dfrac{5}{x}} \right)}}{{ - x\left[ {\sqrt {4 - \dfrac{4}{{{x^2}}}}  + \left( {2 - \dfrac{1}{x}} \right)} \right]}}\\ = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt 4  + 2}} =  - 1.}\end{array}$

Vậy $y =  - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án B

Câu 8: Tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{2x + 3}}$ là:

A. $y = \dfrac{1}{2}$      

B. $y =  \pm \dfrac{1}{2}$

C. $y =  - \dfrac{3}{2},y = 1$

D. $y = 2$

Lời giải:

Dễ dàng tính được $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \dfrac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \dfrac{1}{2}$ do đó $y =  \pm \dfrac{1}{2}$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án B

Câu 9: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}}$ là:

A. $x = 4$ 

B. $x =  - 4$ 

C. $x = 4$ hoặc $x =  - 4$ 

D. $x =  - 1$ 

Lời giải:

Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = - \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = + \infty$

Ngoài ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \ne \infty$ nên x=4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số chỉ có $1$ tiệm cận đứng $x =  - 4$

Đáp án B

Câu 10: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$ là:

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Lời giải:

TXĐ: $x \ge {\rm{\;}} - \dfrac{1}{3};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 2$. Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\dfrac{3}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{x^4}}}} }}{{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 0}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\dfrac{3}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{{x^4}}}} }}{{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 0}\end{array}$

Do đó đồ thị hàm số có TCN $y = 0$.

$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}y = \dfrac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\\ = \dfrac{{\left( {x + 1 - \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}\end{array}\\\begin{array}{l} = \dfrac{{{x^2} - x}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}}\end{array}\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty }\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty }\end{array}$, do đó đồ thị hàm số có TCĐ .

Xét phương trình

$\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x + 1 + \sqrt {3x + 1}  = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1}  =  - x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x - 1 \ge 0}\\{3x + 1 = {{\left( { - x - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le  - 1}\\{3x + 1 = {x^2} + 2x + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le  - 1}\\{{x^2} - x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le  - 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset }\end{array}$

Vậy hàm số có 1 TCN $y = 0$ và 1 TCĐ $x = 2$.

Đáp án A