Giải SGK, SBT Toán 9 Bài 5. Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên Cánh diều

Lấy một vòng tròn (Hình 66a), cắt vòng dây và kéo thẳng vòng dây đó để nhận được sợi dây như ở Hình 66b. Đo chiều dài sợi dây đó. 

Tính chu vi của đường tròn bán kính 5 cm (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

a) Đánh dấu hai điểm \(A,B\) trên một vòng dây không dãn có dạng đường tròn (Hình 67a), cắt cung \(AB\) của vòng dây và kéo thẳng cung đó để nhận được sợi dây như ở Hình 67b. Đo chiều dài sợi dây đó.

b) Ta coi mỗi đường tròn bán kính \(R\) là một cung tròn có số đo \(360^\circ \). Chia đường tròn đó thành 360 phần bằng nhau, mỗi phần là cung tròn có số đo bằng \(1^\circ \); chu vi của đường tròn khi đó cũng được chia thành \(360\) phần bằng nhau. Tính theo \(R\):

+ Độ dài cung tròn có số đo \(1^\circ \);

+ Độ dài cung tròn có số đo \(n^\circ \).

Một con lắc di chuyển từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) (Hình 69). Tính độ dài quãng đường \(AB\) mà con lắc đó di chuyển, biết rằng sợi dây \(OA\) có độ dài bằng \(l\) và tia \(OA\) tạo với phương thẳng đứng góc \(\alpha \).

Vẽ đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\) và các điểm \(A,B\) thỏa mãn \(OA < 2cm,OB = 2cm\). Nêu nhận xét về vị trí của các điểm \(A,B\) so với đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\).

Quan sát Hình 71, hãy cho biết phần hình tròn \(\left( O \right)\) tô màu xanh được giới hạn bởi hai bán kính và cung nào?

Cho hình quạt tròn \(COD\) giới hạn bởi hai bán kính \(OC,OD\) và cung \(CnD\) sao cho \(OC = OD\) (Hình 74). Hãy tìm số đo cung \(CqD\) ứng với hình quạt đó.

Ta coi mỗi hình tròn bán kính \(R\) là một hình quạt có số đo \(360^\circ \). Tính diện tích hình quạt tròn tâm \(O\), bán kính \(R\), biết số đo cung ứng với hình quạt tròn đó là:

a) \(1^\circ \)

b) \(n^\circ \) (Hình 75).

Hình quạt tô màu đỏ ở Hình 65 có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng \(150^\circ \).

a) Tính diện tích của hình quạt đó theo đơn vị decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Tính chiều dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó.

a) Hình 80 mô tả một phần bản vẽ của chi tiết máy. Hình đó giới hạn bởi mấy đường tròn cùng tâm?

b) Hãy vẽ một hình tương tự Hình 80 bằng cách vẽ các đường tròn \(\left( {O;2cm} \right)\) và \(\left( {O;3cm} \right)\). Tính hiệu diện tích của hai hình tròn đó.

Tính diện tích của hình vành khuyên, biết hình vành khuyên đó giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 2,5cm; 2cm.

Quan sát các hình 83, 84, 85, 86.

a) Tính diện tích phần được tô màu trong mỗi hình đó.

b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình 83, 84.

Hình 87 mô tả mặt cắt của một chiếc đèn led có dạng hai hình vành khuyên màu trắng với bán kính các đường tròn lần lượt là 15cm, 18cm, 21cm, 24cm. Tính diện tích hình vành khuyên đó.

Hình 88 mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa đường tròn đường kính 2cm; hai hình chữ nhật kích thước \(2cm \times 8cm\); một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4cm và 6cm. Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.

Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikigns sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt tô màu xanh, màu đỏ trong Hình 89). Mặt cắt \(ABCD\) của nêm góc có dạng hai tam giác vuông \(OAE,ODE\) bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn \(OBC\)(Hình 90), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt \(MNPQ\) của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình 91), được làm từ những thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như ở Hình 91.

a) Diện tích của nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1 ft = 30,48cm, 1 in = 2,54cm, \(\pi  = 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Cần phải biết những kích thước nào của nêm góc để tính được diện tích của nêm đó?

Hoàn thành số liệu ở bảng sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị đo đã cho nếu cần, lấy \(\pi  \approx 3,14\)):

Chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là gần giống đường tròn với tốc độ không đổi. Giả thiết quỹ đạo này là đường tròn với bán kính khoảng 385 nghìn km. Thời gian Mặt Trăng quay một vòng quanh Trái Đất khoảng 27,3 ngày.

a) Tính quãng đường đi được của Mặt Trăng sau 1 ngày (làm tròn kết quả đến hàng nghìn của kilômét).

b) Tính tốc độ của Mặt Trăng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét trên giây).

Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 5cm, đường chéo AC = 8cm. Vẽ các đường tròn (A; 5cm), (C; 3 cm). Đường tròn (C) cắt BC, CD lần lượt tại E, F. Tính tỉ số độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) và cung nhỏ EF của đường tròn (C).

Cho tam giác ABE vuông cân tại A với AB = AE = 2a. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O’ đường kính AE. Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn (O), (O’) (Hình 44). Tính theo a:

a) Độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’);

b) Diện tích của phần tô màu xám theo a.

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S₁ là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S₂ là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S₃ là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S₁ + S₂ = S_3.

Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho \(\widehat {MAP} = 60^\circ \) (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 10cm. Vẽ hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tâm O’ đường kính CD cắt nhau tại P, Q. Biết rằng đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB và CD (Hình 47). Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O), (O’).

Bác Long dự định mua gỗ để làm một mặt bàn. Mặt bàn có dạng ở giữa là hình chữ nhật với chiều rộng 1,2 m, chiều dài 1,8 m và hai đầu là hai nửa hình tròn có đường kính là chiều rộng của hình chữ nhật như Hình 48.

Tính số tiền bác Long phải trả để làm được mặt bàn đó (làm tròn kết quả đến hàng nghìn của đồng), biết giá gia công mỗi mét vuông mặt bàn là 100 000 đồng.

Hình 49 mô tả mặt cắt của một chi tiết máy ép nhựa có dạng ở giữa là nửa hình vành khuyên giới hạn bởi hai nửa đường tròn (O; 15 cm), (O; 10 cm) và hai đầu là hai hình chữ nhật có chiều dài 15 cm, chiều rộng 5 cm. Tính diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimét vuông).

Cho đường tròn tâm O bán kính OM = 8 cm. Gọi O' là trung điểm của đoạn thẳng OM, vẽ đường tròn tâm O' bán kính 16 cm. Trong đường tròn (O), kẻ dây AB đi qua O', vuông góc với OM và đường kính CD song song với AB (Hình 50). Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của centimét vuông):

a) Diện tích phần hình giới hạn bởi dây AB, cung nhỏ AD, đường kính CD và cung nhỏ BC của đường tròn (O);

b) Diện tích của phần tô màu xám.