Lí thuyết nguyên hàm

1. Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của $R$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$.

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x ∈ K$.

b. Định lý

1) Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G(x) = F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$.

2) Ngược lại, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x) + C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $∫f(x)dx$

Khi đó : $∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.$

c. Tính chất của nguyên hàm

$∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.$

$∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx$(với k là hằng số khác 0)

$∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx$

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu $\int {f\left( u \right)du}  = F\left( u \right) + C$ và $u = u\left( x \right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx}  = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C$

Hệ quả: $\int {f\left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)$

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số $u = u\left( x \right)$ và $y = v\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx}$.

Chú ý: Viết gọn $\int {udv}  = uv - \int {vdu}$.

Loigiaihay.com