Giải bài 9 trang 9 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 4{x^5} + 6\);

b) \(f\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( { - 2 - x} \right)\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^6} - 7{{\rm{x}}^3}}}{x}\left( {x > 0} \right)\).

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2{x^2} - 4{x^5} + 6} \right)dx}  = \int {2{x^2}dx}  - \int {4{{\rm{x}}^5}dx}  + \int {6dx}  = \frac{2}{3}\int {3{x^2}dx}  - \frac{2}{3}\int {6{{\rm{x}}^5}dx}  + 6\int {1dx} \\  = \frac{2}{3}\int {{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }dx}  - \frac{2}{3}\int {{{\left( {{x^6}} \right)}^\prime }dx}  + 6\int {{{\left( x \right)}^\prime }dx}  = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{2}{3}{x^6} + 6{\rm{x}} + C\end{array}\)

b) \(f\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( { - 2 - x} \right) =  - 2{\rm{x}} - 6 - {x^2} - 3{\rm{x}} =  - {x^2} - 5{\rm{x}} - 6\).

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( { - {x^2} - 5{\rm{x}} - 6} \right)dx}  =  - \int {{x^2}dx}  - \int {5{\rm{x}}dx}  - \int {6dx}  =  - \frac{1}{3}\int {3{x^2}dx}  - \frac{5}{2}\int {2{\rm{x}}dx}  - 6\int {1dx} \\ =  - \frac{1}{3}\int {{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }dx}  - \frac{5}{2}\int {{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }dx}  - 6\int {{{\left( x \right)}^\prime }dx}  =  - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} - 6{\rm{x}} + C\end{array}\)

c) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^6} - 7{{\rm{x}}^3}}}{x} = \frac{{{x^6}}}{x} - \frac{{7{{\rm{x}}^3}}}{x} = {x^5} - 7{{\rm{x}}^2}\).

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^5} - 7{{\rm{x}}^2}} \right)dx}  = \int {{x^5}dx}  - \int {7{{\rm{x}}^2}dx}  = \frac{1}{6}\int {6{x^5}dx}  - \frac{7}{3}\int {3{{\rm{x}}^2}dx} \\ = \frac{1}{6}\int {{{\left( {{x^6}} \right)}^\prime }dx}  - \frac{7}{3}\int {{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }dx}  = \frac{1}{6}{x^6} - \frac{7}{3}{x^3} + C\end{array}\)