Giải Bài 81 trang 92 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;

b) KI là tia phân giác của góc EKD.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\).

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\)

• Xét ∆ABD và ∆ACE có:

\(\widehat {BAC}\) chung

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆ABK và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh trên),

AK là cạnh chung,

BK = CK (do K là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (hai góc tương ứng).

Hay \(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\).

• Xét ∆AEK và ∆ADK có:

AE = AD (chứng minh trên),

\(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\) (chứng minh trên),

AK là cạnh chung.

Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AKE} = \widehat {AKD}\) (hai góc tương ứng)

Nên KA là đường phân giác của góc EKD.

Mặt khác do \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.