Giải bài 6 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với $CD = \frac{1}{2}AB$. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm phép vị tự biến $\overrightarrow {AB}$ thành $\overrightarrow {CD}$.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD

Ta có I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, áp dụng hệ quả định lí Thales, ta được $\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{2}$

Suy ra $IC = \frac{1}{2}IA$

Mà A, C nằm khác phía so với I.

Do đó $\overrightarrow {IC}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {IA}$

Vì vậy ${V_{\left( {I, - \frac{1}{2}} \right)}}\left( A \right) = C$

Chứng minh tương tự, ta được ${V_{\left( {I, - \frac{1}{2}} \right)}}\left( B \right) = D$

Khi đó qua phép vị tự ${V_{\left( {I, - \frac{1}{2}} \right)}}$ biến $\overrightarrow {AB}$ thành $\overrightarrow {CD}$.

Vậy phép vị tự cần tìm là ${V_{\left( {I, - \frac{1}{2}} \right)}}$.