Giải chuyên đề học tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo

Giải bài 5 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’) (Hình 12) có tâm phân biệt và bán kính khác nhau.

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’) (Hình 12) có tâm phân biệt và bán kính khác nhau. Hãy chứng minh có hai phép vị tự biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quan sát hình 12, suy luận để chứng minh.

Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu \({V_{(O,k)}}\). O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Cần tìm được 2 giá trị của k thỏa mãn đề bài.

Lời giải chi tiết

Lấy điểm M bất kì thuộc \((I;{\rm{ }}R).\)

Đường thẳng qua I’ và song song với IM cắt đường tròn (I’; R’) tại hai điểm và (giả sử M, nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ và M, nằm khác phía đối với đường thẳng II’).

Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng II’ tại điểm O₁ nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng cắt đường thẳng II’ tại điểm O₂ nằm trong đoạn II’.

Ta có biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’).

Suy ra \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.R.\)

Do đó \(|k| = \frac{{R'}}{R}\)

Mà \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) (do I, I’ nằm cùng phía đối với O₁).

Suy ra \(k = \frac{{R'}}{R}\)

Ta có \({{\rm{V}}_{\left( {{{\rm{O}}_2},{\rm{k'}}} \right)}}\) biến đường tròn \(\left( {I;{\rm{ }}R} \right)\) thành đường tròn \(\left( {I';{\rm{ }}R'} \right).\)

Chứng minh tương tự, ta được khi I, I’ nằm khác phía đối với O₂, ta có \(k' = - \frac{{R'}}{R}\)

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là \({V_{\left( {{O_1},\frac{{R'}}{R}} \right)}}\) và \({V_{\left( {{O_2}, - \frac{{R'}}{R}} \right)}}\).