Giải bài 6 trang 12 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Trong lô hàng 10 chiếc máy tính mới nhập về có 3 chiếc bị lỗi, 7 chiếc đạt chuẩn. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 chiếc máy tính trong lô hàng đó. Gọi X là số máy tính bị lỗi trong 4 chiếc được chọn ra.

a) Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

b) Khi chọn ra 4 chiếc máy tính thì tình huống mấy chiếc bị lỗi có khả năng xảy ra cao nhất?

c) Tính xác suất để trong 4 chiếc máy tính được chọn ra có ít nhất 1 chiếc bị lỗi.

d) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Lời giải chi tiết

a) X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có giá trị thuộc tập \(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\)

Ta có \(n(\Omega ) = C_{10}^4 = 210.\)

+ Biến cố \(X = 0\) là biến cố :”Không có máy tính nào bị lỗi.”

Suy ra \(n(X = 0) = C_7^4 = 35 \Rightarrow P(X = 0) = \frac{{35}}{{210}}.\)

+ Biến cố \(X = 1\) là biến cố :” Có 1 chiếc máy bị lỗi trong 4 chiếc được chọn.”

Suy ra \(n(X = 1) = C_3^1.C_7^3 = 105 \Rightarrow P(X = 1) = \frac{{105}}{{210}}.\)

+ Biến cố \(X = 2\) là biến cố :” Có 2 chiếc máy bị lỗi trong 4 chiếc được chọn.”

Suy ra \(n(X = 2) = C_3^2.C_7^2 = 63 \Rightarrow P(X = 2) = \frac{{63}}{{210}}.\)

+ Biến cố \(X = 3\) là biến cố :” Có 3 chiếc máy bị lỗi trong 4 chiếc được chọn.”

Suy ra \(n(X = 3) = C_3^3.C_7^1 = 7 \Rightarrow P(X = 3) = \frac{7}{{210}}.\)

Bảng phân bố xác suất của X là:

b) Khi chọn ra 4 chiếc máy tính thì tình huống 1 máy tính bị lỗi có khả năng xảy ra cao nhất.

c) Gọi A là biến cố:” Trong 4 chiếc máy tính được chọn ra không có chiếc nào bị lỗi.”

Khi đó \(P(A) = P(X = 0) = \frac{{35}}{{210}}\)

Do đó xác suất để trong 4 chiếc máy tính được chọn ra có ít nhất 1 chiếc bị lỗi là:

\(P = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{{35}}{{210}} = \frac{5}{6}\)

d) Ta có:

 \(\begin{array}{l}E(X) = 0.\frac{{35}}{{210}} + 1.\frac{{105}}{{210}} + 2.\frac{{63}}{{210}} + 3.\frac{7}{{210}} = 1,2\\V(X) = {(0 - 1,2)^2}.\frac{{35}}{{210}} + {(1 - 1,2)^2}.\frac{{105}}{{210}} + {(2 - 1,2)^2}.\frac{{63}}{{210}} + {(3 - 1,2)^2}.\frac{7}{{210}} = 0,56\\\partial (X) = \sqrt {0,56}  \approx 0,75\end{array}\)