Giải bài 59 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có AB=a. Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Quảng cáo
Đề bài Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có AB=a. a) Chứng minh răng C′D⊥(BCD′), BD′⊥C′D và (BC′D)⊥(BCD′). b) Tính góc giữa hai đường thẳng BD và A′D′. c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDD′C′). d) Tính số đo của góc nhị diện [B,DD′,C]. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD′). g) Chứng minh B′C′∥(BCD′) và tính khoảng cách giữa đường thẳng B′C′ và mặt phẳng (BCD′). h) Tính thể tích của khối tứ diện C′BCD và tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BC′D). Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng bất kỳ cắt nhau trong mặt phẳng. Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chỉ là 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia. b) Chỉ ra AD∥A′D′, nên góc giữa BD và A′D′ cũng bằng góc giữa BD và AD, và bằng ^ADB. c) Ta chứng minh BC⊥(DCC′D′), do đó góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (DCC′D′) là góc ^BDC. d) Ta chứng minh ^BDC là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B,DD′,C]. e) Gọi I là giao điểm của D′C và DC′. Theo câu a, ta có DI⊥(BCD′), từ đó suy ra khoảng cách từ D đến (BCD′) là đoạn thẳng DI. g) Để chứng minh B′C′∥(BCD′), ta chứng minh B′C′ song song với một đường thẳng trong mặt phẳng (BCD′). Do B′C′∥(BCD′) nên khoảng cách giữa B′C′ và (BCD′) bằng khoảng cách từ C′ đến (BCD′). Theo câu a, ta có IC′⊥(BCD′), từ đó suy ra C′I chính là khoảng cách cần tìm. h) Công thức tính thể tích khối chóp: V=13Sh, với S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp đó. Do CC′⊥(BCD) nên thể tích tứ diện C′BCD là V=13CC′.SBCD. Do thể tích tứ diện C′BCD cũng có thể được tính bằng công thức V=13dC,(BC′D).SBC′D, ta suy ra dC,(BC′D)=3VSBC′D. Lời giải chi tiết a) Do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương, nên ta có BC⊥(DCC′D′), điều này suy ra BC⊥C′D. Vì DCC′D′ là hình vuông, nên ta có C′D⊥CD′. Vậy ta có BC⊥C′D, C′D⊥CD′ nên ta có C′D⊥(BCD′). Ta có điều phải chứng minh. Do C′D⊥(BCD′), ta suy ra BD′⊥C′D. Do C′D⊥(BCD′), mà C′D⊂(BC′D),ta suy ra (BC′D)⊥(BCD′). b) Dễ thấy rằng do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương, ta có AD∥A′D′, nên góc giữa BD và A′D′ cũng bằng góc giữa BD và AD, và bằng ^ADB. Do ABCD là hình vuông, nên ^ADB=45o. Vậy góc giữa BD và A′D′ bằng 45o. c) Do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương, nên ta có BC⊥(DCC′D′). Điều này suy ra C là hình chiếu của B trên (DCC′D′). Như vậy, góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (DCC′D′) là góc ^BDC. Do ABCD là hình vuông, nên ^BDC=45o. Vậy góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (DCC′D′) bằng 45o. d) Do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương, ta suy ra DD′⊥(ABCD). Điều này dẫn tới DD′⊥BD và DD′⊥CD. Vậy ^BDC là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B,DD′,C]. Theo câu c, ta có ^BDC=45o. Vậy số đo của góc nhị diện [B,DD′,C] bằng 45o. e) Gọi I là giao điểm của D′C và DC′. Theo câu a, ta có C′D⊥(BCD′), nên DI⊥(BCD′). Vậy khoảng cách từ D đến (BCD′) là đoạn thẳng DI. Vì DCC′D′ là hình vuông cạnh a, ta suy ra C′D=√a2+a2=a√2. Suy ra DI=C′I=C′D2=a√22. Vậy khoảng cách từ D đến (BCD′) bằng a√22. g) Do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương, ta suy ra B′C′∥BC. Mà BC⊂(BCD) nên ta suy ra B′C′∥(BCD′). Vì B′C′∥(BCD′), nên khoảng cách giữa B′C′ và (BCD′) cũng bằng khoảng cách từ C′ đến (BCD′). Theo câu a, ta có C′D⊥(BCD′), điều này cũng có nghĩa C′I⊥(BCD′), tức khoảng cách từ C′ đến (BCD′) là đoạn thẳng C′I. Mà theo câu e, vì C′I=a√22, ta kết luận rằng khoảng cách giữa B′C′ và (BCD′) bằng a√22. h) Do CC′⊥(BCD) nên thể tích tứ diện C′BCD là V=13CC′.SBCD=13CC′.BC.CD2=a.a.a6=a36. Tam giác BC′D có BC′=C′D=BD=a√2 (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều. Diện tích tam giác BC′D bằng SBC′D=BD2√34=(a√2)2√34=a2√32. Vì thể tích tứ diện C′BCD cũng có thể được tính bằng công thức V=13dC,(BC′D).SBC′D, ta suy ra dC,(BC′D)=3.a36a2√32=a√33. Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BC′D) bằng a√33.
Quảng cáo
|