Giải bài 59 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho hình lập phương ABCD.ABCDAB=a.

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.ABCDAB=a.

a) Chứng minh răng CD(BCD), BDCD(BCD)(BCD).

b) Tính góc giữa hai đường thẳng BDAD.

c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CDDC).

d) Tính số đo của góc nhị diện [B,DD,C].

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (BCD).

g) Chứng minh BC(BCD) và tính khoảng cách giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (BCD).

h) Tính thể tích của khối tứ diện CBCD và tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BCD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng bất kỳ cắt nhau trong mặt phẳng.

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chỉ là 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Chỉ ra ADAD, nên góc giữa BDAD cũng bằng góc giữa BDAD, và bằng ^ADB.

c) Ta chứng minh BC(DCCD), do đó góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (DCCD) là góc ^BDC.

d) Ta chứng minh ^BDC là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B,DD,C].

e) Gọi I là giao điểm của DCDC. Theo câu a, ta có DI(BCD), từ đó suy ra khoảng cách từ D đến (BCD) là đoạn thẳng DI.

g) Để chứng minh BC(BCD), ta chứng minh BC song song với một đường thẳng trong mặt phẳng (BCD). Do BC(BCD) nên khoảng cách giữa BC(BCD) bằng khoảng cách từ C đến (BCD).

Theo câu a, ta có IC(BCD), từ đó suy ra CI chính là khoảng cách cần tìm.

h) Công thức tính thể tích khối chóp: V=13Sh, với S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp đó.

Do CC(BCD) nên thể tích tứ diện CBCDV=13CC.SBCD.

Do thể tích tứ diện CBCD cũng có thể được tính bằng công thức V=13dC,(BCD).SBCD, ta suy ra dC,(BCD)=3VSBCD.

Lời giải chi tiết

a) Do ABCD.ABCD là hình lập phương, nên ta có BC(DCCD), điều này suy ra BCCD.

DCCD là hình vuông, nên ta có CDCD.

Vậy ta có BCCD, CDCD nên ta có CD(BCD). Ta có điều phải chứng minh.

Do CD(BCD), ta suy ra BDCD.

Do CD(BCD), mà CD(BCD),ta suy ra (BCD)(BCD).

b) Dễ thấy rằng do ABCD.ABCD là hình lập phương, ta có ADAD, nên góc giữa BDAD cũng bằng góc giữa BDAD, và bằng ^ADB.

Do ABCD là hình vuông, nên ^ADB=45o.

Vậy góc giữa BDAD  bằng 45o.

c) Do ABCD.ABCD là hình lập phương, nên ta có BC(DCCD). Điều này suy ra C là hình chiếu của B trên (DCCD). Như vậy, góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (DCCD) là góc ^BDC.

Do ABCD là hình vuông, nên ^BDC=45o.

Vậy góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (DCCD)  bằng 45o.

d) Do ABCD.ABCD là hình lập phương, ta suy ra DD(ABCD). Điều này dẫn tới DDBDDDCD. Vậy ^BDC là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B,DD,C]. Theo câu c, ta có ^BDC=45o. Vậy số đo của góc nhị diện [B,DD,C] bằng 45o.

e) Gọi I là giao điểm của DCDC. Theo câu a, ta có CD(BCD), nên DI(BCD). Vậy khoảng cách từ D đến (BCD) là đoạn thẳng DI.

DCCD là hình vuông cạnh a, ta suy ra CD=a2+a2=a2. Suy ra DI=CI=CD2=a22.

Vậy khoảng cách từ D đến (BCD) bằng a22.

g) Do ABCD.ABCD là hình lập phương, ta suy ra BCBC.

BC(BCD) nên ta suy ra BC(BCD).

BC(BCD), nên khoảng cách giữa BC(BCD) cũng bằng khoảng cách từ C đến (BCD).

Theo câu a, ta có CD(BCD), điều này cũng có nghĩa CI(BCD), tức khoảng cách từ C đến (BCD) là đoạn thẳng CI. Mà theo câu e, vì CI=a22, ta kết luận rằng khoảng cách giữa BC(BCD) bằng a22.

h) Do CC(BCD) nên thể tích tứ diện CBCD

V=13CC.SBCD=13CC.BC.CD2=a.a.a6=a36.

Tam giác BCDBC=CD=BD=a2 (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều.

Diện tích tam giác BCD bằng SBCD=BD234=(a2)234=a232.

Vì thể tích tứ diện CBCD cũng có thể được tính bằng công thức V=13dC,(BCD).SBCD, ta suy ra dC,(BCD)=3.a36a232=a33.

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BCD) bằng a33.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close