📚Học hết sức – Giá hết hồn!
Giờ
Phút
Giây
Giải bài 59 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diềuCho hình lập phương có . Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Quảng cáo
Đề bài Cho hình lập phương có . a) Chứng minh răng , và . b) Tính góc giữa hai đường thẳng và . c) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . d) Tính số đo của góc nhị diện . e) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . g) Chứng minh và tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng . h) Tính thể tích của khối tứ diện và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng bất kỳ cắt nhau trong mặt phẳng. Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc, ta cần chỉ là 1 đường thẳng nằm trên mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia. b) Chỉ ra , nên góc giữa và cũng bằng góc giữa và , và bằng . c) Ta chứng minh , do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc . d) Ta chứng minh là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện . e) Gọi là giao điểm của và . Theo câu a, ta có , từ đó suy ra khoảng cách từ đến là đoạn thẳng . g) Để chứng minh , ta chứng minh song song với một đường thẳng trong mặt phẳng . Do nên khoảng cách giữa và bằng khoảng cách từ đến . Theo câu a, ta có , từ đó suy ra chính là khoảng cách cần tìm. h) Công thức tính thể tích khối chóp: , với là diện tích đáy và là chiều cao của khối chóp đó. Do nên thể tích tứ diện là . Do thể tích tứ diện cũng có thể được tính bằng công thức , ta suy ra . Lời giải chi tiết a) Do là hình lập phương, nên ta có , điều này suy ra . Vì là hình vuông, nên ta có . Vậy ta có , nên ta có . Ta có điều phải chứng minh. Do , ta suy ra . Do , mà ,ta suy ra . b) Dễ thấy rằng do là hình lập phương, ta có , nên góc giữa và cũng bằng góc giữa và , và bằng . Do là hình vuông, nên . Vậy góc giữa và bằng . c) Do là hình lập phương, nên ta có . Điều này suy ra là hình chiếu của trên . Như vậy, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc . Do là hình vuông, nên . Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . d) Do là hình lập phương, ta suy ra . Điều này dẫn tới và . Vậy là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện . Theo câu c, ta có . Vậy số đo của góc nhị diện bằng . e) Gọi là giao điểm của và . Theo câu a, ta có , nên . Vậy khoảng cách từ đến là đoạn thẳng . Vì là hình vuông cạnh , ta suy ra . Suy ra . Vậy khoảng cách từ đến bằng . g) Do là hình lập phương, ta suy ra . Mà nên ta suy ra . Vì , nên khoảng cách giữa và cũng bằng khoảng cách từ đến . Theo câu a, ta có , điều này cũng có nghĩa , tức khoảng cách từ đến là đoạn thẳng . Mà theo câu e, vì , ta kết luận rằng khoảng cách giữa và bằng . h) Do nên thể tích tứ diện là . Tam giác có (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều. Diện tích tam giác bằng . Vì thể tích tứ diện cũng có thể được tính bằng công thức , ta suy ra . Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .
Quảng cáo
|