Giải bài 5 trang 28 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho biểu thức \(P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}}\).

a) Viết điều kiện xác định của P và rút gọn biểu thức đó.

b) Tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của P là: \(x - 2 \ne 0;x + 2 \ne 0\) và \(4 - {x^2} \ne 0\).

Ta có: \({x^2} - 2x = x(x - 2)\) và \(4 - {x^2} = \left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)\) nên \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{ - x}}{{x + 2}}\).

Do đó \(P = \frac{x}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 2}} - \frac{x}{{x + 2}} = \frac{x}{{x - 2}}\).

b) \(P = \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 + 2}}{{x - 2}} = 1 + \frac{2}{{x - 2}}\) nên \(\frac{2}{{x - 2}} = P - 1\).

Nếu \(x \in \mathbb{Z};P \in \mathbb{Z}\) thì x – 2 là ước số nguyên của 2, do đó

\(x - 2 \in \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\) hay \(x \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}\), cả bốn giá trị này của biến đều thỏa mãn điều kiện xác định của P.

Vậy \(x \in \left\{ {0;1;3;4} \right\}\).